Опубликовано: 26 декабря 2019 2

Простое объяснение принципов решения пределов 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости

Теорема
Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.
Свойства пределов

Если

    \[\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\]

то

    \[\lim_{x \to a}[f(x{} \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = b \pm c\]

Если

    \[\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\]

то

    \[\lim_{x \to a}[f(x{} \cdot g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = b \cdot c\]

Если

    \[\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\ (c \neq 0),\]

то

    \[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \frac{b}{c}\]

Примеры решений пределов

Пример 1

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4).\]

Решение

Заменим в выражении x^{2} - 7x + 4 аргумент x его предельным значением:

    \[\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4) = 3^{2} - t\cdot 3 + 4 = -8\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4) = -8\]

Пример 2

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2)\]

Решение

Заменим в выражении 2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2 аргумент x его предельным значением:

    \[\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = 2\cdot 2^{3} - 7\cdot 2^{2} + 4\cdot 2 + 2 = -2\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = -2\]

Пример 3

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2)\]

Решение

Заменим в выражении \frac{1}{2}x^{3} - x + 2 аргумент x его предельным значением:

    \[\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = \frac{1}{2}\cdot 4^{3} - 4 + 2 = 30\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = 30\]

Пример 4

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8}\]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = 3 в x^{2} + 2x + 8

3^{2} + 2\cdot 3 + 8 = 23 \neq 0

Вычисляем передел:

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2\cdot 3 + 8} = \frac{14}{23}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{14}{23}\]

Пример 5

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4}\]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = 1 в x^{3} + x + 4

1^{3} + 1 + 4 = 6 \neq 0

Вычисляем предел:

    \[\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = \frac{1^{2} -3\cdot 1 + 2}{1^{3} + 1 + 4} = \frac{0}{6} = 0\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = 0\]

Пример 6

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2}\]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = -1 в 2x^{3} - x^{2} + x + 2

2\cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2 = -2 \neq 0

Вычисляем предел:

    \[\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = \frac{(-1)^{2} - (-1) + 1}{2\cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = -\frac{3}{2}\]

Пример 7

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2}\]

Решение

В данном примере знаменатель x - 2 обращается в нуль при предельном значении аргумента x = 2

Преобразуем выражение

    \[\frac{x^{3} - 8}{x - 2}\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x - 2} =\]

    \[\lim_{x \to 2}(x^{2} + 2x + 4) = 2^{2} + 2\cdot 2 + 4 = 12\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2} = 12\]

Пример 8

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}}\]

Решение

При x = -1 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку x = y^{35}. Число 35 является наименьшим общим кратным показателей корней.

x = y^{35},\ \sqrt[7]{x} = y^{5},\ \sqrt[5]{x} = y^{7}

    \[\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}},\ y \rightarrow -1 при x \rightarrow -1\]

    \[\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}\]

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}\]

на 1 + y

В итоге получим:

    \[\lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}} = \frac{5}{7}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{5}{7}\]

Пример 9

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}\]

Решение

При x = 3 знаменатель дроби x^{2} - 7x + 12 обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.

Рассмотрим обратную дробь

    \[\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}\]

и её предел при x \rightarrow 3

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = \frac{3^{2} - 7\cdot 3 + 12}{2\cdot 3 - 5} = \frac{0}{1} = 0\]

Т.к.

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = 0\]

, то при x \rightarrow 3 функция \frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} является бесконечно малой, поэтому \frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} при x \rightarrow 3 является бесконечно большой, а

    \[\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = \infty\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = \infty\]

Пример 10

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x^{3} – высшую степень x, встречающуюся в дроби

    \[\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}\]

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})}\]

При x \rightarrow \infty \frac{1}{x} \rightarrow 0, поэтому

    \[\frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})} = \frac{\lim_{x \to \infty}2 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty}\frac{5}{x^{3}}}{\lim_{x \to \infty}3 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{2}} - \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}}} = \frac{2}{3}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = \frac{2}{3}\]