Алгоритм решения пределов
Если $$\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,$$ то $$\lim_{x \to a}[f(x{} \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = b \pm c$$
Если $$\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,$$ то $$\lim_{x \to a}[f(x{} \cdot g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = b \cdot c$$
Если $$\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\ (c \neq 0),$$ то $$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \frac{b}{c}$$
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Примеры решений пределов
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 3}(x^{2} – 7x + 4).$$
Решение
Заменим в выражении $x^{2} – 7x + 4$ аргумент $x$ его предельным значением:
$$\lim_{x \to 3}(x^{2} – 7x + 4) = 3^{2} – t\cdot 3 + 4 = -8$$
Ответ
$$\lim_{x \to 3}(x^{2} – 7x + 4) = -8$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 2}(2x^{3} – 7x^{2} + 4x + 2)$$
Решение
Заменим в выражении $2x^{3} – 7x^{2} + 4x + 2$ аргумент $x$ его предельным значением:
$$\lim_{x \to 2}(2x^{3} – 7x^{2} + 4x + 2) = 2\cdot 2^{3} – 7\cdot 2^{2} + 4\cdot 2 + 2 = -2$$
Ответ
$$\lim_{x \to 2}(2x^{3} – 7x^{2} + 4x + 2) = -2$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} – x + 2)$$
Решение
Заменим в выражении $\frac{1}{2}x^{3} – x + 2$ аргумент $x$ его предельным значением:
$$\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} – x + 2) = \frac{1}{2}\cdot 4^{3} – 4 + 2 = 30$$
Ответ
$$\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} – x + 2) = 30$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8}$$
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение $x = 3$ в $x^{2} + 2x + 8$
$3^{2} + 2\cdot 3 + 8 = 23 \neq 0$
Вычисляем передел:
$$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2\cdot 3 + 8} = \frac{14}{23}$$
Ответ
$$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{14}{23}$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} – 3x + 2}{x^{3} + x + 4}$$
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение $x = 1$ в $x^{3} + x + 4$
$1^{3} + 1 + 4 = 6 \neq 0$
Вычисляем предел:
$$\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} – 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = \frac{1^{2} -3\cdot 1 + 2}{1^{3} + 1 + 4} = \frac{0}{6} = 0$$
Ответ
$$\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} – 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = 0$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} – x + 1}{2x^{3} – x^{2} + x + 2}$$
Решение
Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение $x = -1$ в $2x^{3} – x^{2} + x + 2$
$2\cdot(-1)^{3} – (-1)^{2} – 1 + 2 = -2 \neq 0$
Вычисляем предел:
$$\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} – x + 1}{2x^{3} – x^{2} + x + 2} = \frac{(-1)^{2} – (-1) + 1}{2\cdot(-1)^{3} – (-1)^{2} – 1 + 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$$
Ответ
$$\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} – x + 1}{2x^{3} – x^{2} + x + 2} = -\frac{3}{2}$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} – 8}{x – 2}$$
Решение
В данном примере знаменатель $x – 2$ обращается в нуль при предельном значении аргумента $x = 2$
Преобразуем выражение $$\frac{x^{3} – 8}{x – 2}$$
$$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} – 8}{x – 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x – 2} = $$
$$\lim_{x \to 2}(x^{2} + 2x + 4) = 2^{2} + 2\cdot 2 + 4 = 12$$
Ответ
$$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} – 8}{x – 2} = 12$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}}$$
Решение
При $x = -1$ числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку $x = y^{35}.$ Число $35$ является наименьшим общим кратным показателей корней.
$x = y^{35},\ \sqrt[7]{x} = y^{5},\ \sqrt[5]{x} = y^{7}$
$$\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}},\ y \rightarrow -1 при x \rightarrow -1$$
$$\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}$$
Разделим числитель и знаменатель дроби $$\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}$$ на $1 + y$
В итоге получим: $$ \lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}} = \frac{5}{7}$$
Ответ
$$\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{5}{7}$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to 3}\frac{2x – 5}{x^{2} – 7x + 12}$$
Решение
При $x = 3$ знаменатель дроби $x^{2} – 7x + 12$ обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.
Рассмотрим обратную дробь $$\frac{x^{2} – 7x + 12}{2x – 5}$$ и её предел при $x \rightarrow 3$
$$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} – 7x + 12}{2x – 5} = \frac{3^{2} – 7\cdot 3 + 12}{2\cdot 3 – 5} = \frac{0}{1} = 0$$
Т.к. $$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} – 7x + 12}{2x – 5} = 0$$, то при $x \rightarrow 3$ функция $\frac{x^{2} – 7x + 12}{2x – 5}$ является бесконечно малой, поэтому $\frac{2x – 5}{x^{2} – 7x + 12}$ при $x \rightarrow 3$ является бесконечно большой, а $$\lim_{x \to 3}\frac{2x – 5}{x^{2} – 7x + 12} = \infty$$
Ответ
$$\lim_{x \to 3}\frac{2x – 5}{x^{2} – 7x + 12} = \infty$$
Задача
Найти предел: $$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x – 1}$$
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^{3}$ – высшую степень $x$, встречающуюся в дроби $$\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x – 1}$$
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x – 1} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{x^{3}}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{x^{3}})}$$
При $x \rightarrow \infty$ $\frac{1}{x} \rightarrow 0,$ поэтому
$$\frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} – \frac{1}{x^{3}})} = \frac{\lim_{x \to \infty}2 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty}\frac{5}{x^{3}}}{\lim_{x \to \infty}3 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{2}} – \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}}} = \frac{2}{3}$$
Ответ
$$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x – 1} = \frac{2}{3}$$