Алгоритм решения пределов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема

Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.

Свойства пределов

Если

$\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,$

то

$\lim_{x \to a}[f(x{} \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = b \pm c$

Если

$\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,$

то

$\lim_{x \to a}[f(x{} \cdot g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = b \cdot c$

Если

$\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\ (c \neq 0),$

то

$\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \frac{b}{c}$

Примеры решений пределов

Пример 1

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4).$

Решение

Заменим в выражении $x^{2} - 7x + 4$ аргумент $x$ его предельным значением:

$\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4) = 3^{2} - t\cdot 3 + 4 = -8$

Ответ

$\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4) = -8$

Пример 2

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2)$

Решение

Заменим в выражении $2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2$ аргумент $x$ его предельным значением:

$\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = 2\cdot 2^{3} - 7\cdot 2^{2} + 4\cdot 2 + 2 = -2$

Ответ

Важно!
Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег
Стоимость и сроки

$\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = -2$

Пример 3

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2)$

Решение

Заменим в выражении $\frac{1}{2}x^{3} - x + 2$ аргумент $x$ его предельным значением:

$\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = \frac{1}{2}\cdot 4^{3} - 4 + 2 = 30$

Ответ

$\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = 30$

Пример 4

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8}$

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение $x = 3$ в $x^{2} + 2x + 8$

$3^{2} + 2\cdot 3 + 8 = 23 \neq 0$

Вычисляем передел:

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2\cdot 3 + 8} = \frac{14}{23}$

Ответ

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{14}{23}$

Пример 5

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4}$

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение $x = 1$ в $x^{3} + x + 4$

$1^{3} + 1 + 4 = 6 \neq 0$

Вычисляем предел:

$\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = \frac{1^{2} -3\cdot 1 + 2}{1^{3} + 1 + 4} = \frac{0}{6} = 0$

Ответ

$\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = 0$

Пример 6

Задача

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Найти предел:

$\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2}$

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение $x = -1$ в $2x^{3} - x^{2} + x + 2$

$2\cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2 = -2 \neq 0$

Вычисляем предел:

$\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = \frac{(-1)^{2} - (-1) + 1}{2\cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$

Ответ

$\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = -\frac{3}{2}$

Пример 7

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Решение

В данном примере знаменатель $x - 2$ обращается в нуль при предельном значении аргумента $x = 2$

Преобразуем выражение

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x - 2} =$

$\lim_{x \to 2}(x^{2} + 2x + 4) = 2^{2} + 2\cdot 2 + 4 = 12$

Ответ

$\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2} = 12$

Пример 8

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}}$

Решение

При $x = -1$ числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку $x = y^{35}.$ Число $35$ является наименьшим общим кратным показателей корней.

$x = y^{35},\ \sqrt[7]{x} = y^{5},\ \sqrt[5]{x} = y^{7}$

$\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}},\ y \rightarrow -1 при x \rightarrow -1$

$\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}$

Разделим числитель и знаменатель дроби

$\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}$

на $1 + y$

В итоге получим:

$\lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}} = \frac{5}{7}$

Ответ

$\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{5}{7}$

Пример 9

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}$

Решение

При $x = 3$ знаменатель дроби $x^{2} - 7x + 12$ обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.

Рассмотрим обратную дробь

$\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}$

и её предел при $x \rightarrow 3$

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = \frac{3^{2} - 7\cdot 3 + 12}{2\cdot 3 - 5} = \frac{0}{1} = 0$

Т.к.

$\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = 0$

, то при $x \rightarrow 3$ функция $\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}$ является бесконечно малой, поэтому $\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}$ при $x \rightarrow 3$ является бесконечно большой, а

$\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = \infty$

Ответ

$\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = \infty$

Пример 10

Задача

Найти предел:

$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}$

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на $x^{3}$ – высшую степень $x$ , встречающуюся в дроби

$\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}$

$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})}$

При $x \rightarrow \infty$ $\frac{1}{x} \rightarrow 0,$ поэтому

$\frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})} = \frac{\lim_{x \to \infty}2 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty}\frac{5}{x^{3}}}{\lim_{x \to \infty}3 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{2}} - \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}}} = \frac{2}{3}$

Ответ

$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = \frac{2}{3}$