Алгоритм решения пределов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Теорема
Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.
Свойства пределов

Если

    \[\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\]

то

    \[\lim_{x \to a}[f(x{} \pm g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \pm \lim_{x \to a}g(x) = b \pm c\]

Если

    \[\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\]

то

    \[\lim_{x \to a}[f(x{} \cdot g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) \cdot \lim_{x \to a}g(x) = b \cdot c\]

Если

    \[\lim_{x \to a}f(x) = b,\ \lim_{x \to a}g(x) = c,\ (c \neq 0),\]

то

    \[\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a}f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)} = \frac{b}{c}\]

Примеры решений пределов

Пример 1

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4).\]

Решение

Заменим в выражении x^{2} - 7x + 4 аргумент x его предельным значением:

    \[\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4) = 3^{2} - t\cdot 3 + 4 = -8\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 3}(x^{2} - 7x + 4) = -8\]

Пример 2

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2)\]

Решение

Заменим в выражении 2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2 аргумент x его предельным значением:

    \[\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = 2\cdot 2^{3} - 7\cdot 2^{2} + 4\cdot 2 + 2 = -2\]

Ответ

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\lim_{x \to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = -2\]

Пример 3

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2)\]

Решение

Заменим в выражении \frac{1}{2}x^{3} - x + 2 аргумент x его предельным значением:

    \[\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = \frac{1}{2}\cdot 4^{3} - 4 + 2 = 30\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 4}(\frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = 30\]

Пример 4

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8}\]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = 3 в x^{2} + 2x + 8

3^{2} + 2\cdot 3 + 8 = 23 \neq 0

Вычисляем передел:

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2\cdot 3 + 8} = \frac{14}{23}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{14}{23}\]

Пример 5

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4}\]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = 1 в x^{3} + x + 4

1^{3} + 1 + 4 = 6 \neq 0

Вычисляем предел:

    \[\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = \frac{1^{2} -3\cdot 1 + 2}{1^{3} + 1 + 4} = \frac{0}{6} = 0\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 1}\frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = 0\]

Пример 6

Задача

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Найти предел:

    \[\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2}\]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = -1 в 2x^{3} - x^{2} + x + 2

2\cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2 = -2 \neq 0

Вычисляем предел:

    \[\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = \frac{(-1)^{2} - (-1) + 1}{2\cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to -1}\frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = -\frac{3}{2}\]

Пример 7

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2}\]

Решение

В данном примере знаменатель x - 2 обращается в нуль при предельном значении аргумента x = 2

Преобразуем выражение

    \[\frac{x^{3} - 8}{x - 2}\]

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x - 2} =\]

    \[\lim_{x \to 2}(x^{2} + 2x + 4) = 2^{2} + 2\cdot 2 + 4 = 12\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 2}\frac{x^{3} - 8}{x - 2} = 12\]

Пример 8

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}}\]

Решение

При x = -1 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку x = y^{35}. Число 35 является наименьшим общим кратным показателей корней.

x = y^{35},\ \sqrt[7]{x} = y^{5},\ \sqrt[5]{x} = y^{7}

    \[\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}},\ y \rightarrow -1 при x \rightarrow -1\]

    \[\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}\]

Разделим числитель и знаменатель дроби

    \[\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}\]

на 1 + y

В итоге получим:

    \[\lim_{y \to -1}\frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}} = \frac{5}{7}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to -1}\frac{1 + \sqrt[7]{x}}{1 + \sqrt[5]{x}} = \frac{5}{7}\]

Пример 9

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}\]

Решение

При x = 3 знаменатель дроби x^{2} - 7x + 12 обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.

Рассмотрим обратную дробь

    \[\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}\]

и её предел при x \rightarrow 3

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = \frac{3^{2} - 7\cdot 3 + 12}{2\cdot 3 - 5} = \frac{0}{1} = 0\]

Т.к.

    \[\lim_{x \to 3}\frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = 0\]

, то при x \rightarrow 3 функция \frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} является бесконечно малой, поэтому \frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} при x \rightarrow 3 является бесконечно большой, а

    \[\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = \infty\]

Ответ

    \[\lim_{x \to 3}\frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = \infty\]

Пример 10

Задача

Найти предел:

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}\]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x^{3} – высшую степень x, встречающуюся в дроби

    \[\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}\]

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}}}{3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}}} = \frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})}\]

При x \rightarrow \infty \frac{1}{x} \rightarrow 0, поэтому

    \[\frac{\lim_{x \to \infty}(2 + \frac{1}{x} + \frac{5}{x^{3}})}{\lim_{x \to \infty}(3 + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x^{3}})} = \frac{\lim_{x \to \infty}2 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x} + \lim_{x \to \infty}\frac{5}{x^{3}}}{\lim_{x \to \infty}3 + \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{2}} - \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^{3}}} = \frac{2}{3}\]

Ответ

    \[\lim_{x \to \infty}\frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = \frac{2}{3}\]

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 1

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

2115

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также