Карл Фридрих Гаусс – немецкий математик, основатель одноименного метода решения СЛАУ

Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Первое его описание имеется в китайском трактате «Математика в девяти книгах», который составлен между II в. до н. э. и I в. н. э. и представляет собой компиляцию более ранних трудов, написанных примерно в X в. до н. э.

Метод Гаусса – последовательное исключение неизвестных. Этот метод используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Хотя уравнения при помощи метода Гаусса решаются легко, но всё же студенты часто не могут найти правильное решение, так как путаются в знаках (плюсы и минусы). Поэтому во время решения СЛАУ необходимо быть предельно внимательным и только тогда можно легко, быстро и правильно решить даже самое сложное уравнение.

У систем линейных алгебраических уравнений есть несколько преимуществ: уравнение не обязательно заранее на совместность; можно решать такие системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равняется нулю; есть возможность при помощи метода Гаусса приводить к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

О чем статья

Определения и обозначения

Как уже говорилось, метод Гаусса вызывает у студентов некоторые сложности. Однако, если выучить методику и алгоритм решения, сразу же приходит понимание в тонкостях решения.

Для начала систематизируем знания о системах линейных уравнений.

[stextbox id=”danger” defcaption=”true”]

СЛАУ в зависимости от её элементов может иметь:

Одно решение;
много решений;
совсем не иметь решений.

[/stextbox]

В первых двух случаях СЛАУ называется совместимой, а в третьем случае – несовместима. Если система имеет одно решение, она называется определённой, а если решений больше одного, тогда система называется неопределённой.

Метод Крамера и матричный способ не подходят для решения уравнений, если система имеет бесконечное множество решений. Вот поэтому нам и нужен метод Гаусса, который поможет нам в любом случае найти правильное решение. К элементарным преобразованиям относятся:

перемена мест уравнений системы;
почленное умножение обеих частей на одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами;
сложение к обеим частям одного из уравнений определённых частей другого уравнения.

Итак, когда мы знаем основные правила и обозначения, можно приступать к решению.

Теперь рассмотрим, как решаются системы методом Гаусса на простом примере:

$\left\{ \begin{aligned} a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = d_{1}\\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = d_{2}\\ a_{3}x + b_{3}y + c_{3}z = d_{3} \end {aligned} \right.$

где а, в, с – заданные коэффициенты, d – заданные свободные члены, x, y, z – неизвестные. Коэффициенты и свободные члены уравнения можно называть его элементами.

Если $d_1$ = $d_2$ = $d_3$ = $0$ , тогда система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в другом случае – неоднородной.

Множественные числа $x_0$ , $y_0$ , $z_0$ называются решением СЛАУ, если при подстановке $x=x_0$ , $y=y_0$ , $z=z_0$ в СЛАУ получим числовые тождества.

Система, которую мы написали выше имеет координатную форму. Если её переделать в матричную форму, тогда система будет выглядеть так:

$A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix} \right$

– это основная матрица СЛАУ.

$X = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} \right$

– матрица столбец неизвестных переменных.

$B = \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{pmatrix} \right$

– матрица столбец свободных членов.

Если к основной матрице $A$ добавить в качестве $(n + 1)$ – ого столбца матрицу-столбец свободных членов, тогда получится расширенная матрица систем линейных уравнений. Как правило, расширенная матрица обозначается буквой $T$ , а столбец свободных членов желательно отделить вертикальной линией от остальных столбцов. То есть, расширенная матрица выглядит так:

$T = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\vert{b_{1}}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\vert{b_{2}}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\vert{b_{3}} \end{pmatrix} \right$

Если квадратная матрица равна нулю, она называется вырожденная, а если $|A|\neq{0}$ – матрица невырожденная.

[stextbox id=’danger’ defcaption=”true”]

Если с системой уравнений: $A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{31}\\ a_{12}&a_{22}&a_{32}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33} \end{pmatrix} \right$

Произвести такие действия:

умножать обе части любого из уравнений на произвольное и отличное от нуля число $k$ ;
менять местами уравнения;
к обеим частям любого из уравнений прибавить определённые части другого уравнения, которые умножаются на произвольное число $k$ ,

тогда получается эквивалентная система, у которой такое же решение или нет решений совсем.

[/stextbox]

Теперь можно перейти непосредственно к методу Гаусса.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Простейшие преобразования элементов матрицы

Мы рассмотрели основные определения и уже понимаем, чем нам поможет метод Гаусса в решении системы. Теперь давайте рассмотрим простую систему уравнений. Для этого возьмём самое обычное уравнение, где и используем решение методом Гаусса:

$\left\{ \begin{aligned} 2x - y = -4\\ 6x + y = -6 \end {aligned} уравнения\right.$

Из уравнения запишем расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6}\\ \end{pmatrix} \right$

Из данной матрицы видно, по какому принципу она записана. Вертикальную черту не обязательно ставить, но просто так удобнее решать систему.

[stextbox id=’info’ defcaption=”true”]Матрица системы – это матрица, которая составляется исключительно с коэффициентами при неизвестных. Что касается расширенной матрицы системы, так, это такая матрица, в которой кроме коэффициентов записаны ещё и свободные члены. Любую из этих матриц называют просто матрицей.[/stextbox]

На матрице, которая написана выше рассмотрим, какие существуют элементарные преобразования:

1. В матрице строки можно переставлять местами. Например, в нашей матрице спокойно можно переставить первую и вторую строки:

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6}\\ \end{pmatrix} \right$ . $\to$ $\begin{pmatrix} 6&1&\vert{-6}\\ 2&-1&\vert{-4} \end{pmatrix} \right$

2. Если в матрице имеются (или появились) пропорциональные строки (одинаковые), тогда необходимо оставить всего лишь одну строку, а остальные убрать (удалить).

3. Если в ходе преобразований в матрице появилась строка, где находятся одни нули, тогда такую строку тоже нужно удалять.

4. Строку матрицы можно умножать (делить) на любое число, которое отличное от нуля. Такое действие желательно проделывать, так как в будущем проще преобразовывать матрицу.

5. Сейчас рассмотрим преобразование, которое больше всего вызывает затруднение у студентов. Для этого возьмём изначальную нашу матрицу:

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6}\\ \end{pmatrix} \right$

Для удобства умножаем первую строку на (-3):

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6}\\ \end{pmatrix} \right$ $\to$ $\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\6&1&\vert{-6}\end{pmatrix}\right$

Теперь ко второй строке прибавляем первую строку, которую умножали на -3. Вот что у нас получается:

$\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\ 6&1&\vert{-6} \end{pmatrix} \right$

В итоге получилось такое преобразование:

$\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\ 0&4&\vert{6} \end{pmatrix} \right$

Теперь для проверки можно разделить все коэффициенты первой строки на те же $-3$ и вот что получается:

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6} \end{pmatrix} \right$

В матрице верхняя строка преобразовалась:

$\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\ 6&1&\vert{-6} \end{pmatrix} \right$

Первую строку делим на $-3$ и преобразовалась нижняя строка:

$\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\ 0&4&\vert{6} \end{pmatrix} \right$

И верхнюю строку поделили на то же самое число $-3$ :

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 0&4&\vert{6} \end{pmatrix} \right$

Как вы можете убедиться, в итоге строка, которую мы прибавляли ни капельки не изменилась, а вот вторая строка поменялась. ВСЕГДА меняется только та строка, к которой прибавляются коэффициенты.

Мы расписали в таких подробностях, чтобы было вам понятно, откуда какая цифра взялась. На практике, например, на контрольной или экзамене матрица так подробно не расписывается. Как правило, в задании решение матрицы оформляется так:

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6}\\ \end{pmatrix} \right$ . $\to$ $\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 0&4&\vert{6} \end{pmatrix} \right$

[stextbox id=’danger’ defcaption=”true”]Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям.[/stextbox]

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

После того, как мы рассмотрели простейшие преобразования, в которых на помощь пришёл метод Гаусса, можем вернуться к нашей системе, которую уже разложили по полочкам и пошагово распишем:

$\left\{ \begin{aligned} 2x - y = -4\\ 6x + y = -6 \end {aligned} уравнения\right$

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Записываем матрицу:

$\begin{pmatrix} 2&-1&\vert{-4}\\ 6&1&\vert{-6}\\ \end{pmatrix} \right$

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Как мы привели вторую строку в первом столбце к нулю описано выше. Напомним, что первую строку умножали на $-3$ и вторую строку прибавили к первой , умноженной на $-3$ .

$\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\ 0&4&\vert{6} \end{pmatrix} \right$

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Теперь вторую строку можно поделить на 2 и получается:

$\begin{pmatrix} -6&3&\vert{12}\\ 0&2&\vert{3} \end{pmatrix} \right$

Верхнюю строку делим на $-3$ и приводим матрицу к ступенчатому виду:

Когда оформляют задание, так и отчёркивают простым карандашом для упрощения работы, а также обводят те числа, которые стоят на “ступеньках”. Хотя в учебниках и другой литературе нет такого понятия, как ступенчатый вид. Как правило, математики такой вид называют трапециевидным или треугольным.

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

После наших элементарных преобразований получилась эквивалентная система:

$\left\{ \begin{aligned} 2x - y = -4\\ 2y = 3 \end {aligned} уравнения\right$

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Теперь систему нужно решить в обратном направлении, то есть обратным ходом, начиная с последней строки.:

находим $y$ : $2y = 3$ ,

${y} = {3\over{2}}$ ,

$y = 1.5$ .

После $y$ находим $x$ :

$2x - 1.5 = -4$ ,

$x = -1,25$ .

Тогда:

$2 * (-1,25) - 1,5 = -4 6 * (-1,25) + 1,5 = -6$ .

Как видим, уравнение решено правильно, так как ответы в системе совпадают.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Как мы уже упоминали, невырожденная матрица бывает тогда, когда $|A|\neq{0}$ . Разберём систему уравнений невырожденной матрицы, где уравнений по количеству столько же, сколько и неизвестных. Эту систему уравнений решим другим способом.

Дана система уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} x - 2y + z = 0\\ 2x + 2y - z = 3\\ 4x - y + z = 5 \end {aligned} \right$

Для начала нужно решить первое уравнение системы относительно неизвестной переменной $x$ . Далее подставим полученное выражение сначала во второе уравнение, а затем в третье, чтобы исключить из них эту переменную.

$\left\{ \begin{aligned} x - 2y + z = 0\\ 2x + 2y - z = 3\\ 4x - y + z = 5 \end {aligned} \leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x = 2y - z\\2 * (2y - z) + 2y - z = 3\\4 * (2y - z) - y + z = 5\end {aligned} \leftrightarrow\left{\begin{aligned}x = 2y - z = 0\\2x + 2y - z = 3\\4x - y + z = 5\end {aligned}\right\leftrightarrow\left\{ \begin{aligned}x = 2y - z\\6y - 3z = 3\\7y - 3z = 5\end {aligned}$

Теперь переходим ко второму уравнению системы относительно $y$ и полученный результат подставим в третье уравнение.. Это нужно для того, чтобы исключить неизвестную переменную $y$ :

$\left\{\begin{aligned}x = 2y - z = 0\\6y - 3z = 3\\7y - 3z = 5\end {aligned}\leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x = 2y - z\\{y} = {1\over{2}}z + {1\over{2}}\\7y - 3z = 5\end {aligned}\leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x = 2y - z\\{y} = {1\over{2}}z + {1\over{2}}\\7 * ({1\over{2}}z + {1\over{2}}) - 3z = 5\end {aligned}\leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x = 2y - z\\y = {1\over{2}}z + {1\over{2}}\\{1\over{2}}z = {3\over{2}}\end {aligned}\right$

Из последнего, третьего уравнения мы видим, что $z = 3$ . Из второго уравнения находим $y = {1\over{2}}x + {1\over{2}} = {1\over{2}} * 3 + {1\over{2}} = 2$ . И последнее, находим первое уравнение $x = 2y - z = 2 * 2 - 3 = 1$ .

Итак, мы нашли все три неизвестных при помощи последовательного исключения. Такой процесс называют – прямой ход метода Гаусса. Когда последовательно находятся неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения, называется обратным ходом метода Гаусса.

Когда выражается $x$ через $y$ и $z$ в первом уравнении, а затем подставляется полученное выражение во второе или третье уравнения, тогда, чтобы привести в к такому же результату, необходимо проделать такие действия:

берём второе уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на $-{a_{21}\over{a_{11}}$ ,
берём третье уравнение и к его левой и правой частям прибавляем определённые части из первого уравнения, которые умножаются на $-{a_{31}\over{a_{11}}$ .

И действительно, благодаря такой процедуре у нас есть возможность исключать неизвестную переменную $x$ со второго и третьего уравнения системы:

$\left\{\begin{aligned}x - 2y + z = 0\\2x + 2y - z = 3\\4x - y + z = 5\end {aligned}\leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x - 2y + z = 0\\2x + 2y - z + (-{2\over{1}}) * (x - 2y + x = 3 + (-{2\over{1}}) * 0\end {aligned}\leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x - 2y + z = 0\\6x - 3y = 3\\7x - 3y = 5\end {aligned}\right$

Возникают нюансы с исключением неизвестных переменных тогда, когда в уравнении системы нет каких-либо неизвестных переменных. Рассмотрим такую систему:

$\left\{ \begin{aligned} 2y + z = -4\\ x + y + 2z = -3\\ 2x + 2z = 0 \end {aligned} \right$

В этой системе в первом уравнении нет переменной $x$ и поэтому у нас нет возможности решить первое уравнение системы относительно $x$ , чтобы исключить данную переменную из остальных уравнений. В таком случае выход есть. Нужно всего лишь уравнения переставить местами.

Так как мы описываем уравнения системы, в которых определитель основных матриц отличен от нуля, тогда всегда есть такое уравнение, в котором есть необходимая нам переменная и это уравнение мы можем поставить туда, куда нам нужно.

В примере, который мы рассматриваем, достаточно всего лишь поменять местами первое и второе уравнение.

$\left\{ \begin{aligned} x + y + 2z = -3\\ 2y + z = -4\\ 2x + 2z = 0 \end {aligned} \right$

Теперь мы можем спокойно разрешить первое уравнение относительно переменной $x$ и убрать (исключить) из остальных уравнений в системе. Вот и весь принцип работы с такими, на первый взгляд, сложными системами.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Метод Гаусса помогает решать системы уравнений, у которых основная матрица прямоугольная или квадратная, но основная вырожденная матрица может совсем не иметь решений, иметь бесконечное множество решений или иметь всего лишь одно единственное решение.

Рассмотрим, как при помощи метода Гаусса устанавливается совместность или несовместность систем линейных уравнений. В случае, если есть совместность определим все решения или одно решение.

В принципе, исключать неизвестные переменные можно точно так, как описано выше. Однако, есть некоторые непонятные ситуации, которые могут возникнуть в ходе решения:

1. На некоторых этапах в момент исключения неизвестных переменных некоторые уравнения могут обратиться в тождества $0 = 0$ . В данном случае такие уравнения лишние в системе и их можно смело полностью убирать, а затем продолжать решать уравнение методом Гаусса.

Например, вам попалась подобная система:

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y - z + 3k = 7\\ 2x + 4y - 2z + 6k = 14\\ x - y + 3z + k = -1 \end {aligned} \right$

У нас получается такая ситуация

$\left\{\begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\\2x + 4y - 2z + 6k = 14\\x - y + 3z + k = -1\end{aligned}\leftrightarrow\right$

$\left\{\begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\\2x + 4y - 2z + 6k + (-2) * (x + 2y - z + 3k) = 14 + (-2) * 7\\x - y + 3z + k + (-1) * (x + 2y - z + 3k) = -1 + (-1) * 7\end{aligned}\leftrightarrow\right$

$\left\{\begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\\0 = 0\\-3y + 4z - 2k = -8\end{aligned}\right$

Как видим, второе уравнение $0 = 0$ . Соответственно, данное уравнение мы можем из системы удалить, так как оно без надобности.

$\left\{\begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\\0 = 0\\-3y + 4z - 2k = -8\end{aligned}\leftrightarrow\right$ $\left\{\begin{aligned}x + 2y - z + 3k = 7\\-3y + 4z - 2k = -8\end{aligned}\right$

Дальше можно продолжать решение системы линейных алгебраических уравнений уравнений традиционным методом Гаусса.

2. При решении уравнений прямым ходом методом Гаусса могут принять не только одно, но и несколько уравнений такой вид: $0 = k$ , где $k$ – число, которое отличное от нуля. Это говорит о том, что такое уравнение никогда не сможет превратиться в тождество даже при любых значениях неизвестных переменных. То есть, можно выразить по-другому. Если уравнение приняло $0 = k$ вид, значит система несовместна, то есть, не имеет решений. Рассмотрим на примере:

$\left\{ \begin{aligned} 2x - y + 3z = 1\\ 2x - y - z = -2\\ 4x - 2y + 6z = 0\\ 6x + 8y - 7z = 2 \end {aligned} \right$

Для начала необходимо исключить неизвестную переменную $x$ из всех уравнений данной системы, начиная со второго уравнения. Для этого нужно прибавить к левой и правой частям второго, третьего, четвёртого уравнения части (левую и правую) первого уравнения, которые соответственно, умножаются на (-1), (-2), (-3). Получается:

$\left\{\begin{aligned}2x - y + 3z = 1\\ 2x - y - z = -2\\4x - 2y + 6z = 0\\6x + 8y - 7z = 2\end {aligned}\leftrightarrow\right$

$\left\{\begin{aligned}2x - y + 3z = 1\\2x - y - z + (-1) * (2x - y + 3z) = -2 + (-1) * 1\\4x - 2y + 6z + (-2) * (2x - y + 3z) = 0 + (-2) * 1\\6x + 8y - 7z + (-3) *(2x - y + 3z) = 2 + (-3) * 1\end {aligned}\leftrightarrow\right$

$\left\{\begin{aligned}2x - y + 3z = 1\\-4z = -3\\0 = -2\\11y - 16z = -1\end {aligned} \right$

В третьем уравнении получилось равенство $0 = -2$ . Оно не подходит ни для каких значений неизвестных переменных $x$ , $y$ и $z$ , и поэтому, у данной системы нет решений. То есть, говорится, что система не имеет решений.

3. Допустим, что при выполнении прямого хода методом Гаусса нам нужно исключить неизвестную переменную $x_n$ , и ранее, на каком-то этапе у нас уже исключалась вместе с переменной $x_j$ . Как вы поступите в таком случае? При таком положении нам нужно перейти к исключению переменной $x_{n+1}$ . Если же $x_{n+1}$ уже исключались, тогда переходим к $x_{n+2}$ , $x_{n+3}$ и т. д.

Рассмотрим систему уравнений на таком этапе, когда уже исключилась переменная $x$ :

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y + z + k + l + n = 7\\ x + 2y + z + 2k + l - n = 1\\ x + 2y + z - k + 5l - n = 2\\ x+ 2y + z - k - 4l + 4n = -1 \end {aligned} \right$

Такая система уравнений после преобразования выглядит так:

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y + z + k + 3l + n = 7\\ k - 2l - n = -6\\ -2k + 2l - 2n = -5\\ -3k - 7l + 3n = -8 \end {aligned} \right$

Вы наверное уже обратили внимание, что вместе с $x$ исключились $y$ и $z$ . Поэтому решение методом Гаусса продолжаем исключением переменной $k$ из всех уравнений системы, а начнём мы с третьего уравнения:

$\left\{\begin{aligned} x + 2y + z + k + 3l + n = 7\\ k - 2l - n = -6\\ -2k + 2l - 2n = -5\\ -3k - 7l + 3n = -8 \end {aligned}\leftrightarrow\left\{\begin{aligned} x + 2y + z + k + 3l + n = 7\\k - 2l - n = -6\\-2k + 2l - 2n + 2 * (k - 2l - 2n) = -5 + 2 * (-6)\\-3k - 7l + 3n + 3 * (k - l - n) = -8 + 3 * (-6) \end {aligned}\leftrightarrow \left\{\begin{aligned}x + 2y + z + k + 3l + n = 7\\k - 2l - n = -6\\-2l - 6n = -17\\-13l - 3n = -26 \end {aligned} \right$

Чтобы завершить уравнение прямым ходом метода Гаусса, необходимо исключить последнюю неизвестную переменную $l$ из последнего уравнения:

Допусти, что система уравнений стала:

$\left\{\begin{aligned}x + y - 2z - k + l + n = 6\\k + 7l + n = 1\\l + n = 3\end {aligned} \right$

В этой системе нет ни одного уравнения, которое бы сводилось к $0$ . В данном случае можно было бы говорить о несовместности системы. Дальше непонятно, что же делать? Выход есть всегда. Для начала нужно выписать все неизвестные, которые стоят на первом месте в системе:

В нашем примере это $x$ , $k$ и $l$ . В левой части системы оставим только неизвестные, которые выделены зелёным квадратом а в правую перенесём известные числа, но с противоположным знаком. Посмотрите на примере, как это выглядит:

$\left\{\begin{aligned} x - k + l = 6 - y + 2z - 2n\\ k + 7l = 1 - n\\ l = 3 - n \end {aligned} \right$

Можно придать неизвестным переменным с правой части уравнений свободные (произвольные) значения: $y = \delta_y$ , $z = \delta_z$ , $n = \delta_n$ , где $\delta_y$ , $\delta_z$ , $\delta_n$ – произвольные числа.

$\left\{\begin{aligned} x - k + l = 6 - \delta_y + 2\delta_z - 2\delta_n\\ k + 7l = 1 - \delta_n\\ l = 3 - \delta_n \end {aligned} \right$

Теперь в правых частях уравнений нашей системы имеются числа и можно приступать к обратному ходу решения методом Гаусса.

В последнем уравнении системы получилось: $l = 3 - \delta_n$ , и теперь мы легко найдём решение в предпоследнем уравнении: $k = 1 - \delta_n - 7l = 1 - \delta_n - 7(3 - \delta_n) = -20 + 6\delta_n$ , а из первого уравнения получаем:

$x = 6 - \delta_y + 2\delta_z - 2\delta_n + k - l$ = $6 - \delta_y + 2\delta_z - 2\delta_n + (-20 + 6\delta_n) - (3 - \delta_n)$ = $-17 - \delta_y + 2\delta_z + 5\delta_n$

В итоге, получился результат, который можно и записать.

Ответ

$x = -17 - y + 2z + 5\delta_n$ ,

$y = \delta_y$ ,

$z = \delta_z$ ,

$k = -20 + 6\delta_n$ ,

$l = 3 - \delta_n$ ,

$n = \delta_n$ .

Примеры решения методом Гаусса

Выше мы подробно расписали решение системы методом Гаусса. Чтобы закрепить материал, решим несколько примеров, в которых опять нам поможет метод Гаусса. Соответственно, начнём с самой простой системы.

[stextbox id=’warning’ caption = “Пример 1”]

Задача

Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:

$\left\{ \begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 10\\ 5x_1 - 7x_2 = 3 \end {aligned} \right$

Решение

Выписываем матрицу, куда добавляем столбец свободных членов:

$\begin{pmatrix} 3&4&\vert{10}\\ 5&-7&\vert{3} \end{pmatrix} \right$

Прежде всего мы смотрим на элемент, который находится в матрице в левом верхнем углу (первая строка, первый столбец). Для наглядности выделим цифру зелёным квадратом. На этом месте практически всегда стоит единица:

Так как $3\neq{0}$ мы должны использовать подходящее элементарное преобразование строк и сделать так, чтобы элемент, который находится в матрице под выделенной цифрой $3$ превратился в $0$ . Для этого можно ко второй строке прибавить первую строку и умножить на $-5\over{3}$ .Однако, не сильно хочется работать с дробями, поэтому давайте постараемся этого избежать. Для этого нужно вторую строку умножить на $3$ (разрешающий элемент данного шага).

Соответственно, первая строка остаётся неизменной, а вторая поменяется:

$\begin{pmatrix} 3&4&\vert{10}\\ 15&-21&\vert{9} \end{pmatrix} \right$

Подбираем такое элементарное преобразование строк, чтобы во второй строке в первом столбце образовался $0$ . Для этого первую строку нужно умножить на $-5$ и только после этого ко второй строке прибавить изменённую после умножения на $-5$ вторую строку. Вот что получилось:

$3 * -5 = -15$ . Теперь прибавляем со второй строки $15$ первую строку $-15$ . У нас получился $0$ , который записываем во вторую строку в первый столбец. Также решаем и остальные элементы матрицы. Вот что у нас получилось:

$\begin{pmatrix} 3&4&\vert{10}\\ 0&-41&\vert{-41} \end{pmatrix} \right$

Как всегда у нас первая строка осталась без изменений, а вторая с новыми числами.

Итак, у нас получился ступенчатый вид матрицы:

Записываем новую систему уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 10\\ - 41x_2 = -41 \end {aligned} уравнения\right$

Для проверки решаем систему обратным ходом. Для этого находим сначала $x_2}$ :

$-41x_2 = -41$

$x_2 = (-41)/(-41)$

$x_2 = 1$

Так как $x_2$ найден, находим $x_1$ :

$3x_1 + 4 * 1 = 10$

$3x_1 + 4 = 10$

$3x_1 = 10 - 4$

$3x_1 = 6$

$x_1 = 6/3$

$x_1 = 2$ .

Подставляем в изначальную нашу систему уравнений найденные $x_1$ и $x_2$ :

$\left\{ \begin{aligned} 3x_1 + 4x_2 = 10\\ 5x_1 - 7x_2 = 3 \end {aligned} \right$

$3 * 2 + 4 * 1 = 10$ и $5 * 2 - 7 * 1 = 3$ .

Как видите из решения, система уравнений решена верно. Запишем ответ.

Ответ

$x_1 = 2$

$x_2 = 1$

[/stextbox]

Выше мы решали систему уравнений в двумя неизвестными, а теперь рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными.

[stextbox id=’warning’ caption = “Пример 2”]

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y - 3z = -4\\ 2x + 5y - 4z = 0\\ -3x + y + 3z = 5 \end {aligned} \right$

Решение

Составляем матрицу, куда вписываем и свободные члены:

$\begin{pmatrix} 1&2&-3&\vert{-4}\\ 2&5&-4&\vert{0}\\ -3&1&3&\vert{5} \end{pmatrix} \right$

Что нам надо? Чтобы вместо цифры 2 появился 0. Для этого подбираем ближайшее число. Например, можно взять цифру -2 и на неё перемножить все элементы первой строки. Значит, умножаем $1 * (-2)$ , а потом прибавляем, при этом задействуем вторую строку: $-2 +2$ . В итоге у нас получился нуль, который записываем во вторую строку в первый столбец. Затем $2 * (-2) = (-4)$ , и $-4 + 5 = 1$ . Аналогично, $-3 * (-2) = 6$ и $6 + (-4) = 2$ . И умножаем свободный член $(-4) * (-2) = 8$ . Так и запишем следующую матрицу. Не забывайте, что первая строка остаётся без изменений:

$\begin{pmatrix} 1&2&-3&\vert{-4}\\ 0&1&2&\vert{8}\\ -3&1&3&\vert{5} \end{pmatrix} \right$

Дальше необходимо проделать те же самые действия по отношению к третьей строке. То есть, первую строку нужно умножать не на (-2), а на цифру 3, так как и в третьей строке нужно коэффициенты привести у нулю. Также первую строку умножаем на 3 и прибавляем третью строку. Получается так:

$\begin{pmatrix} 1&2&-3&\vert{-4}\\ 0&1&2&\vert{8}\\ 0&7&-6&\vert{-7} \end{pmatrix} \right$

Теперь нужно обнулить элемент 7, который стоит в третьей строке во втором столбце. Для этого выбираем цифру (-7) и проделываем те же действия. Однако, необходимо задействовать вторую строку. То есть, вторую строку умножаем на (-7) и прибавляем с третьей строкой. Итак, $1 * (-7) + 7 = 0$ . Записываем результат в третью строку. Такие же действия проделываем и с остальными элементами. Получается новая матрица:

$\begin{pmatrix} 1&2&-3&\vert{-4}\\ 0&1&2&\vert{8}\\ 0&0&-20&\vert{-63} \end{pmatrix} \right$

В результате получилась ступенчатая система уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y - 3z = -4\\ y + 2z = 8\\ -20z = -63 \end {aligned} \right$

Сначала находим $z$ : $z = -63/-20 = 3,15$ ,

$y = 8 - 2 * 3,15 = 1,7$

$x = -4 - 2 * 1,7 + 3 * 3,15 = 2,05$ .

Обратный ход:

$\left\{ \begin{aligned} 2,05 + 2 * 3,4 - 3 * 3,15 = -4\\ 2 * 2,05 + 5 * 1,7 - 4 * 3,15 = 0\\ -3 * 2,05 + 1,7 + 3 * 3,15 = 5 \end {aligned} \right$

Итак, уравнение системы решено верно.

Ответ

$x = 2,05$ ,

$y = 1,7$ ,

$z = 3,15$ .

[/stextbox]

[stextbox id=”warning” caption=”Пример 3″]

Система с четырьмя неизвестными более сложная, так как в ней легко запутаться. Попробуем решить такую систему уравнений.

Задача

Решите систему уравнений методом Гаусса:

$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2 + 3x_3 - 2x_4=6\\ 2x_1 + 4x_2 - 2x_2 - 3x_4=18\\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 =4\\ 2x_1 - 3x_2 + 2x_3 + x_4 =8 \end{aligned} \right$

Решение

В уравнении $a_1_1$ , то есть $x_1$ – ведущий член и пусть $a_1_1$ ≠ 0

Из данного уравнения составим расширенную матрицу:

$\begin{pmatrix} 1&2 &3&2&\vert{6}\\ 2& 4& -2& -3&\vert{18}\\ 3& 2& -1& 2&\vert{4}\\ 2& -3& 2& 1&\vert{8} \end{pmatrix} \right$

Теперь нужно умножить последние три строки (вторую, третью и четвёртую) на: $-2$ , $-3$ , $-2$ . Затем прибавим полученный результат ко второй, третьей и четвёртой строкам исключаем переменную $x_1$ из каждой строки, начиная не с первой, а не со второй. Посмотрите, как изменилась наша новая матрица и в $a_2_2$ теперь стоит 0.

$\begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\\ 0&0&-8&1&6\\ 0&-4&-10&8&-14\\ 0&-7&-4&5&20 \end{pmatrix} \right$

Поменяем вторую и третью строку местами и получим:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\\ 0&-4&-10&8&-14\\ 0&0&-8&1&6\\ 0&-7&-4&5&20 \end{pmatrix} \right$

Получилось так, что $a^1_{22}$ = $-4\neq0$ b и тогда, умножая вторую строку на (-7/4) и результат данной строки, прибавляя к четвёртой, можно исключить переменную $x_2$ из третьей и четвёртой строк:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\\ 0&-4&-10&8&-14\\ 0&0&-8&1&6\\ 0&0&13,5&9&4,5 \end{pmatrix} \right$

Получилась такая матрица:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&-2&6\\ 0&-4&-10&8&-14\\ 0&0&-8&1&6\\ 0&0&0&-{{117}\over{16}}&{117}\over{8} \end{pmatrix} \right$

Также, учитывая, что $a^3_{23}$ = $-8\neq0$ , умножим третью строку на: 13,5/8 = 27/16, и, полученный результат прибавим к четвёртой, чтобы исключить переменную $x_3$ и получаем новую систему уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} x_1+2x_2 + 3x_3 - 2x_4=6\\ - 4x_2 - 10x_3 + 8x_4=-14\\ -8x_3 + x_4=6\\ -{{117}\over{16}} x_4 = {{117}\over{8}} \end{aligned} \right$

Теперь необходимо решить уравнение обратным ходом и найдём из последнего, четвёртого уравнения $x_4 = -2$ ,

из третьего: $x_3$ = ${6-x_4}\over{-8}$ = ${6+2}\over{-8}$ = $-1$

второе уравнение находим: $x_2$ = ${-14-8x_4+10x_3}\over{-4}$ = ${-14-8(-2)+10(-1)}\over{-4}$ = 2,

из первого уравнения: $x_1$ = $6+2x_4-3x_3-2x_2=6+2(-2)-3(-1)-2*2=1$ .

Значит, решение системы такое: (1, 2, -1, -2).

Ответ

$x_1 = 1$ ,

$x_2 = 2$ ,

$x_3 = -1$ ,

$x_4 = -2$ .

[/stextbox]

Добавим ещё несколько примеров для закрепления материла, но без такого подробного описания, как предыдущие системы уравнений.

[stextbox id=”warning” caption=”Пример 4″]

Задача

Решить систему уравнений методом Гаусса:

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y + 3z = 3\\ 3x + 5y + 7z = 0\\ x + 3y + 4z = 1 \end{aligned} \right$

Решение

Записываем расширенную матрицу системы:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&\vert{3}\\ 3&5&7&\vert{0}\\ 1&3&4&\vert{1} \end{pmatrix} \right$

Сначала смотрим на левое верхнее число:

Как выше уже было сказано, на этом месте должна стоять единица, но не обязательно. Производим такие действия: первую строку умножаем на -3, а потом ко второй строке прибавляем первую:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&\vert{3}\\ 0&-1&-2&\vert{-9}\\ 1&3&14\vert{1} \end{pmatrix} \right$

Производим следующие действия: первую строку умножаем на -1. Затем к третьей строки прибавляем вторую:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&\vert{3}\\ 0&-1&-2&\vert{-9}\\ 0&1&1\vert{-2} \end{pmatrix} \right$

Теперь вторую строку умножаем на 1, а затем к третьей строке прибавляем вторую:

$\begin{pmatrix} 1&2&3&\vert{3}\\ 0&-1&-2&\vert{-9}\\ 0&0&-1&\vert{-11} \end{pmatrix} \right$

Получился ступенчатый вид уравнения:

$\left\{ \begin{aligned} x + 2y + 3z = 3\\ -y - 2z = -9\\ -z = -11 \end{aligned} \right$

Проверяем:

$-z = -11 = 11$ ,

$-y - 2 * 11 = -9$ ,

$-y - 22 = -9$ ,

$-y = 22 - 9$ ,

$y = -13$ .

$x + 2 * (-13) + 3 * (11) = x + 7 = 3 = -4$ .

Ответ

$x = -4$ ,

$y = -13$ ,

$z = 11$ .

[/stextbox]

Заключение

Итак, вы видите, что метод Гаусса – интересный и простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений.

Если элементы определителя не равняются нулю, тогда лучше обратиться к методу Крамера, а если же элементы нулевые, тогда такие системы очень удобно решать благодаря методу Гаусса.

Предлагаем ещё почитать учебники, в которых также описаны решения систем методом Гаусса.

Литература для общего развития:

Умнов А. Е. Аналитическая геометрия и линейная алгебра, изд. 3: учеб. пособие – М. МФТИ – 2011 – 259 с.

Карчевский Е. М. Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии, учеб. пособие – Казанский университет – 2012 – 302 с.

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении

Метод Гаусса – теорема, примеры решений

Определения и обозначения

Простейшие преобразования элементов матрицы

Алгоритм решения методом Гаусса пошагово

Шаг 1. Переписываем систему в виде матрицы

Шаг 2. Преобразовываем матрицу: вторую строку в первом столбце приводим к нулю

Шаг 3. Приводим матрицу к ступенчатому виду

Шаг 4. Записываем эквивалентную систему

Шаг 5. Производим проверку (решение системы обратным путём)

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица невырожденная, а количество в ней неизвестных равняется количеству уравнений

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, в которых основная матрица вырожденная, а количество в ней неизвестных не совпадает с количеством уравнений

Примеры решения методом Гаусса

Заключение

Авторизуйтесь