О чем статья
Уравнение плоскости через точку и нормальный вектор. Общее уравнение плоскости
Рассмотрим уравнение плоскости через точку на примере, так как будет более понятно, чем определения и термины.
Пусть в пространстве задана точка и ненулевой вектор . Через точку можно провести единственную плоскость перпендикулярно вектору . Чтобы получить уравнение плоскости, выберем на ней произвольную точку и рассмотрим вектор (см. рис. 1)
Рис. 1
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]
Точка тогда и только тогда, когда
=
(1)
– уравнение плоскости, которая проходит через данную точку с нормальным вектором.
[/stextbox]
Открыв скобки в (1) у нас получается:
(2}
– это общее уравнение плоскости, где обозначено: .
Значит, плоскости отвечает линейное уравнение (2). Наоборот, если задано линейное уравнение вида (2), тогда нетрудно найти точку , координаты которой удовлетворяют это уравнение, и записать вектор Вектор и точка определяют плоскость .
Исследование общего уравнения плоскостей
Рассматриваются частные случаи размещения плоскостей:
когда некоторые из чисел равняются нулю.
1. Если , тогда уравнение выглядит так: , плоскость проходит через начало координат перпендикулярно вектору .
2. Если , тогда у нас получается уравнение , вектор принадлежит плоскости . Так как плоскость , или же (см. рис. 2). Уравнения плоскости – это уравнение следа в плоскости .
Рис. 2
3. Если же , тогда плоскость проходит через ось .
4. Если же , тогда уравнение плоскости выглядит так: , принадлежит плоскости . Плоскость (см. рис. 3)
Рис. 3
5. Если же , тогда плоскость проходит через всю ось .
6. Если , тогда получается уравнение , , или .
7. Если же , тогда плоскость проходит через ось .
Вывод:
На основании 2, 4 и 6 получается, что плоскость параллельна той координатной оси, переменная которой в уравнении отсутствует.
8. , плоскость , либо же , где . Вектор = направленный вдоль оси , поэтому плоскость перпендикулярна к оси в точке
В частности, если , тогда – уравнение координатной плоскости .
9. Если , тогда у нас есть плоскость , либо , где . Вектор направляющий вдоль оси . Плоскость перпендикулярна оси в точке .
В частности, если , тогда – уравнение координатной плоскости .
10. На конец, если , тогда , где
При получается – уравнение координатной плоскости .
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Уравнение плоскости в отрезках
Прежде чем записывать уравнение плоскости в отрезках, вспомним общее уравнение:
если ни одно из чисел не равняется нулю, тогда плоскость можно построить за тремя точками пересечения её с координатными осями:
, , , где , , – отрезки, которые отсекают плоскость на координатных осях (см. рис. 4)
Рис. 4
Уравнение плоскости в отрезках запишется:
(3)
[stextbox id=”info” defcaption=”true”] Прямые , , называются следами данной плоскости на координатных плоскостях , , – соответственно. Их уравнения можно получить из общего, если в последнем приравнять к нулю соответствующую переменную.[/stextbox] Так, например, если плоскость , тогда в этой плоскости уравнения следа запишется:
Аналогично и до остальных следов.
Уравнение плоскости проходящей через три точки
Пусть заданы три точки , которые не лежат на одной линии. Произвольная точка отлична от , будет находиться в плоскости точек тогда, и только тогда, когда векторы = ,
компланарные, то есть их смешанное произведение x
В координатной форме запишется:
(4)
– уравнение плоскости проходящее через три точки.
Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Если для однозначности угол между двумя плоскостями называть один из меньших двугранных углов между ними, а соответственно к этому самый маленький из углов назовём углом между двумя векторами, тогда между двумя плоскостями есть угол между их нормальными векторами.
Рис. 5
= = ,
(5)
где , – нормальные векторы плоскости
– ,
– .
Если , тогда =
И тогда:
(6)
– условие перпендикулярности двух плоскостей.
Когда же , тогда получим:
= =
(7)
– условие параллельности двух плоскостей.
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки до плоскости рассмотрим при помощи примера, формул и рисунка.
Расстояние от точки до плоскости , выражается формулой:
=
(8)
Действительно, на рисунке 6:
Рис. 6
видим, что для произвольной точки
= = ,
где , .
Так как = = = ,
потому что , а , тогда формула (5) доказана.
Примеры задач по уравнению плоскости
Чтобы ещё лучше понять вышеописанную тему, необходимо решить много задач. Поэтому предлагаем вам ознакомиться с примерами и их решениями.
Составление уравнения плоскости
[stextbox id=”warning” caption=”Пример”]
Задача
Даны точки и . Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна к вектору .
Решение
По условию вектор – это нормальный вектор плоскости. Найдём его координаты.
= .
Подставляя в уравнение (1) , а также
У нас получается:
[/stextbox]
Составление уравнения в отрезках
[stextbox id=”warning” caption=”Пример”]
Задача
Построить плоскость и записать её уравнение в отрезках, а также уравнение следов на соответствующих координатных плоскостях.
Решение:
Положим , тогда . Аналогично при находим , при , , тогда уравнение в отрезках запишется:
(рис. 7)
Рис. 7
Уравнение следов:
[/stextbox]
Уравнение плоскости через три точки
[stextbox id=”warning” caption=”Пример”]
Задача
Составить уравнение и построить плоскость, которая проходит через точки
Решение
По формуле (4)
Плоскость параллельна (рис. 8)
Рис. 8
[/stextbox]
Вычисление угла между плоскостями
[stextbox id=”warning” caption=”Пример”]
Задача
Найти угол между плоскостями и
Решение
Подставим в формулу вычисления угла между плоскостями соответствующие коэффициенты:
= = = =
Вы заметили, что в этом примере мы воспользовались исключительно одной формулой? В нашем случае – (5) формула. Никаких других формул мы не использовали и смогли найти угол между двумя плоскостями.
[/stextbox]