О чем статья
Линейно зависимая система векторов
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]
Система векторов называется линейно зависимой, если их линейная комбинация равняется нулевому вектору:
=
(1)
при условии, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю.
[/stextbox]
Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из них можно преподнести в виде линейной комбинации других. Действительно, если, например, , тогда согласно формуле (1) получается:
= – x -… – x
Наоборот, если линейная комбинация векторов , то есть
,
тогда вся система – линейно зависимая, так как:
x +
где
Линейно независимая система векторов
Линейные системы векторов – это не только зависимые системы, но и независимые. [stextbox id=”info” defcaption=”true”]Так вот, линейно независимая система векторов называется тогда, когда их линейная комбинация равняется нулевому вектору:
только при условии равенства нулю всех коэффициентов: .
[/stextbox]
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Доказательства линейной зависимости и линейной независимости
Понятие линейной зависимости векторов позволяет характеризовать их взаимное положение в пространстве.
[stextbox id=”info” caption=”Доказательство 1″] Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарные.[/stextbox]
[stextbox id=”info” caption=”Доказательство 2″] Произвольные три вектора линейно зависимые тогда и только тогда, когда они компланарные.[/stextbox]
[stextbox id=”info” caption=”Доказательство 3″]Четыре вектора всегда линейно зависимые, то есть, существуют числа , такие, что для векторов , , , имеет место соотношение:
= + + = .
(2)[/stextbox]
[stextbox id=”danger” defcaption=”true”]Формула (2) по системе трёх некомпланарных векторов , , – единственный. [/stextbox]
Действительно, если предположить , что существует ещё одно решение:
.
Тогда, отнимая из (2) последнее равенство, получим:
= x + x + x .
Как видим, – линейно независимы (они не компланарные), тогда решение возможно при условии:
= = = = , ,
Примеры задач
[stextbox id=”warning” caption= “Пример 1”]
Задача
Проверить будут ли вектора = , , , линейно независимыми.
Решение
Вектора будут линейно зависимыми, так как размерность векторов меньше количества векторов.
[/stextbox]
[stextbox id=”warning” caption= “Пример 2”]
Задача
Проверить будут ли вектора = , = , = линейно независимыми.
Решение
Найти значение коэффициентов при котором линейная комбинация этих векторов будет равна нулевому вектору:
Это векторное уравнение можно записать в виде системы линейных уравнений:
Решим эту систему используя метод Гаусса:
Везде получаются нули. Теперь из второй строки вычтем первую; из третьей строки вычтем первую:
из первой строки вычтем вторую; к третьей строке добавим вторую:
Данное решение показывает, что система имеет множество решений, то есть существует не нулевая комбинация значений чисел таких, что линейная комбинация векторов , , равна нулевому вектору, например
+ + = .
А это значит, что вектора , , линейно зависимы.
Ответ: вектора , , линейно зависимы.
[/stextbox]