Примеры решения частных дифференциалов с ответами

Анатолий Овруцкий 0 137

Простое объяснение принципов решения частного дифференциала и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения частных дифференциалов

Теорема
Частным дифференциалом функции нескольких переменных называется произведение её частной производной по одной из независимых переменных и дифференциала независимой переменной

Если f(x,\ y) – функция двух независимых переменных, то её частные дифференциалы будут иметь вид:

    \[d_{x}f(x,\ y) = \frac{\partial{f(x,\ y)}}{\partial{x}}dx\]

    \[d_{y}f(x,\ y) = \frac{\partial{f(x,\ y)}}{\partial{y}}dy\]

Алгоритм
Для вычисления частного дифференциала необходимо найти частную производную функции по одной из независимых переменных и умножить её на дифференциал этой переменной.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений частных дифференциалов

Пример 1

Задача

Найти частные дифференциалы функции u = e^{\frac{x}{y}}.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Функция e^{\frac{x}{y}} является сложной. Производной показательной функции с основанием e является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что y является константой и равна u = \frac{1}{y}. Производная функции u равна произведению e^{\frac{x}{y}} и \frac{1}{y}. В результате получаем:

{u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции e^{\frac{x}{y}} и показателя её степени \frac{x}{y}:

Считая x постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу y:

(e^{\frac{x}{y}})' = e^{\frac{x}{y}}

(\frac{x}{y})' = -\frac{x}{y^{2}}

{u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dx,\ d_{y}u = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}dy\]

Пример 2

Задача

Найти частные дифференциалы функции u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Производная суммы равна сумме производных. Производная от x^{2} вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент y считается константой. Производная от слагаемого 4y^{2} вычисляется как производная от константы.

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y.

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = (2x + 3y)dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от x^{2} вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается y). Производная от слагаемого 3xy вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент x считается константой, а y – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого 4y^{2} осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = (3x + 8y)dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = (2x + 3y)dx,\ d_{y}u = (3x + 8y)dy\]

Пример 3

Задача

Найти частные дифференциалы функции z = x^{n} + y^{n}, n – натуральное число.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная функции по независимой переменной x будет равна производной от x^{n}. Производная от слагаемого y^{n} при этом будет равна нулю как производная от константы.

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = nx^{n-1}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная функции по независимой переменной y находится аналогичным образом, при этом предполагается, что x является константой.

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = ny^{n-1}dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = nx^{n-1}dx,\ d_{y}u = ny^{n-1}dy\]

Пример 4

Задача

Найти частные дифференциалы функции u = x^{\sin{y}},\ x > 0.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

При нахождении производной по независимой переменной x, функцию u = x^{\sin{y}} следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Производная по независимой переменной y находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная y входит в показатель степени виде функции \sin{x}.

Производная показательной функции равна:

{(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}

Производная показателя степени равна:

{(sin{y})}' = \cos{y}

В результате получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx,\ d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy\]

Пример 5

Задача

Найти частные дифференциалы функции u = y\sin{x} + \sin{y}.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная функции u по независимой переменной x определяется слагаемым u = y\sin{x}. Производная второго слагаемого – \sin{y} равна нулю, как производная от константы.

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = y\cos{x}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная функции u по независимой переменной y будет определяться обоими слагаемым:

{(y\sin{x})_y}' = \sin{x}

{(\sin{y})_y}' = \cos{y}

Таким образом, окончательно получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = y\cos{x}dx,\ d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy\]

Пример 6

Задача

Найти частные дифференциалы функции u = y\sin{x} + \sin{y} + x^{3}.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная функции u по независимой переменной x определяется слагаемым u = y\sin{x}. Производная второго слагаемого – \sin{y} равна нулю, как производная от константы.

Производная третьего слагаемого – x^{3}, равна 3x^{2}. Окончательно получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x} + 3x^{2}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = (y\cos{x} + 3x^{2})dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная функции u по независимой переменной y будет определяться двумя слагаемымы (производная от x^{3} по y равна 0):

{(y\sin{x})_y}' = \sin{x}

{(\sin{y})_y}' = \cos{y}

Таким образом, окончательно получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = (y\cos{x} + 3x^{2})dx,\ d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy\]

Пример 7

Задача

Найти частные дифференциалы функции u = x^{\sin{y}},\ x > 0.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

При нахождении производной по независимой переменной x, функцию u = x^{\sin{y}} следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:
\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Производная по независимой переменной y находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная y входит в показатель степени виде функции \sin{x}.

Производная показательной функции равна:

{(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}

Производная показателя степени равна:

{(sin{y})}' = \cos{y}

В результате получаем:

\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx,\ d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy\]

Пример 8

Задача

Найти частные дифференциалы функции z = e^{x}\cos{y} - e^{y}\sin{x}.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная по независимой переменной x находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}\cos{y})_{x}}' = e^{x}\cos{y}

{(- e^{y}\sin{x})_{x}}' = - e^{y}\cos{x}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = - e^{y}\cos{x}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Частная производная по независимой переменной y находится как сумма слагаемых:

{(e^{x}\cos{y})_{y}}' = -e^{x}\sin{y}

{(- e^{y}\sin{x})_{y}}' = - e^{y}\sin{x}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = - e^{y}\sin{x}dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = - e^{y}\cos{x}dx,\ d_{y}u = - e^{y}\sin{x}dy\]

Пример 9

Задача

Найти частные дифференциалы функции z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая x как независимый аргумент:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения:

{({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = 2xdx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Рассматривая y в качестве независимого аргумента, получаем:

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – \frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}} следует домножить на производную подкоренного выражения:

{({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = 2ydy\]

Ответ

    \[d_{x}u = 2xdx,\ d_{y}u = 2ydy\]

Пример 10

Задача

Найти частные дифференциалы функции z = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}.

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.
Производная показательной функции с основанием e равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: arctg\ {\frac{y}{x}}. В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: \frac{y}{x}. Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций:

e^{arctg\ {\frac{y}{x}}},\ arctg\ {\frac{y}{x}} и \frac{y}{x}

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной x найдём частную производную функции по этой переменной:

Нахождение частной производной функции по аргументу x:

\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{x}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1  {\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}

Частный дифференциал по независимой переменной x найдём как произведение частной производной функции по x и dx:

    \[d_{x}u = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}dx\]

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной y найдём частную производную функции по этой переменной:

Нахождение частной производной функции по аргументу y:

\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{y}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}

Частный дифференциал по независимой переменной y найдём как произведение частной производной функции по y и dy:

    \[d_{y}u = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}dy\]

Ответ

    \[d_{x}u = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}dx,\ d_{y}u = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}dy\]

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

137

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *