Примеры решения частных дифференциалов с ответам

Алгоритм решения частных дифференциалов

Теорема

Частным дифференциалом функции нескольких переменных называется произведение её частной производной по одной из независимых переменных и дифференциала независимой переменной

Если $f(x,\ y)$ – функция двух независимых переменных, то её частные дифференциалы будут иметь вид:

$d_{x}f(x,\ y) = \frac{\partial{f(x,\ y)}}{\partial{x}}dx$

$d_{y}f(x,\ y) = \frac{\partial{f(x,\ y)}}{\partial{y}}dy$

Алгоритм

Для вычисления частного дифференциала необходимо найти частную производную функции по одной из независимых переменных и умножить её на дифференциал этой переменной.

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений частных дифференциалов

Пример 1

Задача

Найти частные дифференциалы функции $u = e^{\frac{x}{y}}$ .

Решение

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной $x$ найдём частную производную функции по этой переменной:

Функция $e^{\frac{x}{y}}$ является сложной. Производной показательной функции с основанием $e$ является сама функция. Производная показателя степени вычисляется в при условии, что $y$ является константой и равна $u = \frac{1}{y}$ . Производная функции $u$ равна произведению $e^{\frac{x}{y}}$ и $\frac{1}{y}$ . В результате получаем:

${u_{x}}' = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}$

Частный дифференциал по независимой переменной $x$ найдём как произведение частной производной функции по $x$ и $dx$ :

$d_{x}u = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dx$

Для нахождения частного дифференциала по независимой переменной $y$ найдём частную производную функции по этой переменной:

По аналогии с предыдущим случаем производная функции будет равна произведению производных от функции $e^{\frac{x}{y}}$ и показателя её степени $\frac{x}{y}$ :

Считая $x$ постоянной величиной, находим производную по независимому аргументу $y$ :

$(e^{\frac{x}{y}})' = e^{\frac{x}{y}}$

$(\frac{x}{y})' = -\frac{x}{y^{2}}$

${u_{y}}' = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}$

Частный дифференциал по независимой переменной $y$ найдём как произведение частной производной функции по $y$ и $dy$ :

$d_{y}u = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}dy$

Ответ

$d_{x}u = \frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}dx,\ d_{y}u = -\frac{x}{y^{2}}e^{\frac{x}{y}}dy$

Пример 2

Задача

Найти частные дифференциалы функции $u = x^{2} + 3xy + 4y^{2}$ .

Решение

Производная суммы равна сумме производных. Производная от $x^{2}$ вычисляется по правилам вычислений производных функций одного аргумента, производная от слагаемого $3xy$ вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент $y$ считается константой. Производная от слагаемого $4y^{2}$ вычисляется как производная от константы.

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 2x + 3y + 0 = 2x + 3y$ .

$d_{x}u = (2x + 3y)dx$

Здесь вычисления также происходят по правилам вычисления производной суммы. Производная от $x^{2}$ вычисляется как производная от константы (независимым аргументом при этом считается $y$ ). Производная от слагаемого $3xy$ вычисляется как производная от функции двух аргументов. При этом аргумент $x$ считается константой, а $y$ – независимым аргументом. Вычисление производной от слагаемого $4y^{2}$ осуществляется по правилам вычисления производных функций с одним аргументом.

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = (x^{2})' + (3xy)' + (4y^{2})' = 0 + 3x + 8y = 3x + 8y$

$d_{y}u = (3x + 8y)dy$

Ответ

$d_{x}u = (2x + 3y)dx,\ d_{y}u = (3x + 8y)dy$

Пример 3

Задача

Найти частные дифференциалы функции $z = x^{n} + y^{n}$ , $n$ – натуральное число.

Решение

Частная производная функции по независимой переменной $x$ будет равна производной от $x^{n}$ . Производная от слагаемого $y^{n}$ при этом будет равна нулю как производная от константы.

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = nx^{n-1}$

$d_{x}u = nx^{n-1}dx$

Частная производная функции по независимой переменной $y$ находится аналогичным образом, при этом предполагается, что $x$ является константой.

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = ny^{n-1}$

$d_{y}u = ny^{n-1}dy$

Ответ

$d_{x}u = nx^{n-1}dx,\ d_{y}u = ny^{n-1}dy$

Пример 4

Задача

Найти частные дифференциалы функции $u = x^{\sin{y}},\ x > 0$ .

Решение

При нахождении производной по независимой переменной $x$ , функцию $u = x^{\sin{y}}$ следует рассматривать как степенную. По правилу нахождения производной степенной функции получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}$

$d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx$

Производная по независимой переменной $y$ находится по правилу вычисления производной показательной функции, которая, в свою очередь, определяется по правилам нахождения производных сложных функций, т.к. переменная $y$ входит в показатель степени виде функции $\sin{x}$ .

Производная показательной функции равна:

${(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}$

Производная показателя степени равна:

${(sin{y})}' = \cos{y}$

В результате получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}$

$d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy$

Ответ

$d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx,\ d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy$

Пример 5

Задача

Найти частные дифференциалы функции $u = y\sin{x} + \sin{y}$ .

Решение

Частная производная функции $u$ по независимой переменной $x$ определяется слагаемым $u = y\sin{x}$ . Производная второго слагаемого – $\sin{y}$ равна нулю, как производная от константы.

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x}$

$d_{x}u = y\cos{x}dx$

Частная производная функции $u$ по независимой переменной $y$ будет определяться обоими слагаемым:

${(y\sin{x})_y}' = \sin{x}$

${(\sin{y})_y}' = \cos{y}$

Таким образом, окончательно получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}$

$d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy$

Ответ

$d_{x}u = y\cos{x}dx,\ d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy$

Пример 6

Задача

Найти частные дифференциалы функции $u = y\sin{x} + \sin{y} + x^{3}$ .

Решение

Производная третьего слагаемого – $x^{3}$ , равна $3x^{2}$ . Окончательно получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{x}} = y\cos{x} + 3x^{2}$

$d_{x}u = (y\cos{x} + 3x^{2})dx$

Частная производная функции $u$ по независимой переменной $y$ будет определяться двумя слагаемымы (производная от $x^{3}$ по $y$ равна 0):

${(y\sin{x})_y}' = \sin{x}$

${(\sin{y})_y}' = \cos{y}$

Таким образом, окончательно получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = \sin{x} + \cos{y}$

$d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy$

Ответ

$d_{x}u = (y\cos{x} + 3x^{2})dx,\ d_{y}u = (\sin{x} + \cos{y})dy$

Пример 7

Задача

Найти частные дифференциалы функции $u = x^{\sin{y}},\ x > 0$ .

Решение

$d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx$

Производная показательной функции равна:

${(x^{sin{y}})_{y}}' = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}$

Производная показателя степени равна:

${(sin{y})}' = \cos{y}$

В результате получаем:

$\frac{\partial{u}}{\partial{y}} = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}$

$d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy$

Ответ

$d_{x}u = \sin{y}\cdot{x^{sin{y} - 1}}dx,\ d_{y}u = x^{sin{y}}\cdot{\ln{x}}\cdot{\cos{y}}dy$

Пример 8

Задача

Найти частные дифференциалы функции $z = e^{x}\cos{y} - e^{y}\sin{x}$ .

Решение

Частная производная по независимой переменной $x$ находится как сумма слагаемых:

${(e^{x}\cos{y})_{x}}' = e^{x}\cos{y}$

${(- e^{y}\sin{x})_{x}}' = - e^{y}\cos{x}$

$d_{x}u = - e^{y}\cos{x}dx$

Частная производная по независимой переменной $y$ находится как сумма слагаемых:

${(e^{x}\cos{y})_{y}}' = -e^{x}\sin{y}$

${(- e^{y}\sin{x})_{y}}' = - e^{y}\sin{x}$

$d_{y}u = - e^{y}\sin{x}dy$

Ответ

$d_{x}u = - e^{y}\cos{x}dx,\ d_{y}u = - e^{y}\sin{x}dy$

Пример 9

Задача

Найти частные дифференциалы функции $z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

Решение

По правилу нахождения производной квадратного корня получаем, рассматривая $x$ как независимый аргумент:

${(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{x}}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

Т.к. функция является сложной, то результат вычисления производной от квадратного корня – $\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ следует домножить на производную подкоренного выражения:

${({x^{2} + y^{2}})_{x}}' = 2x$

$d_{x}u = 2xdx$

Рассматривая $y$ в качестве независимого аргумента, получаем:

${(\sqrt{x^{2} + y^{2}})_{y}}' = \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$

По аналогии с предыдущим случаем, результат вычисления производной от квадратного корня – $\frac{1}{2\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ следует домножить на производную подкоренного выражения:

${({x^{2} + y^{2}})_{y}}' = 2y$

$d_{y}u = 2ydy$

Ответ

$d_{x}u = 2xdx,\ d_{y}u = 2ydy$

Пример 10

Задача

Найти частные дифференциалы функции $z = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}$ .

Решение

Данная функция является сложной, поэтому процесс нахождения производной данной функции целесообразно производить в несколько этапов.
Производная показательной функции с основанием $e$ равна самой себе. Далее необходимо найти производную показателя степени: $arctg\ {\frac{y}{x}}$ . В свою очередь аргумент функции арктангенс в данном случае также представляет собой сложную функцию: $\frac{y}{x}$ . Результирующая производная будет равна произведению производных трёх функций:

$e^{arctg\ {\frac{y}{x}}},\ arctg\ {\frac{y}{x}}$ и $\frac{y}{x}$

Нахождение частной производной функции по аргументу $x$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{x}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{x}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1 {\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{-y}{x^{2}}} = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}$

$d_{x}u = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}dx$

Нахождение частной производной функции по аргументу $y$ :

$\frac{\partial{z}}{\partial{y}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{(arctg\ {\frac{y}{x}})_{y}}'\cdot{({\frac{y}{x}})_{y}}' = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{1+({\frac{y}{x}})^2}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{1}{\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\cdot{\frac{1}{x}} = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}$

$d_{y}u = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}dy$

Ответ

$d_{x}u = - e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{y}{x^{2} + y^{2}}}dx,\ d_{y}u = e^{arctg\ {\frac{y}{x}}}\cdot{\frac{x}{x^{2} + y^{2}}}dy$

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Виктория З.

Редактор.

Копирайтер со стажем, автор текстов для образовательных презентаций.

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная

Примеры решения частных дифференциалов с ответами

Алгоритм решения частных дифференциалов

Примеры решений частных дифференциалов