Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Пример 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь 

    \[y{}'=\frac{dy}{dx}\]

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

    \[x\cdot \frac{dy}{dx}=y.\]

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей  по правилу пропорции получаем

    \[\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\]

Далее интегрируем полученное уравнение:

    \[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\]

В данном случае интегралы берём из таблицы:

    \[\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C;\]

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть,

    \[\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C\]

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

y=Cx, где С=Const.

Пример 2

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

    \[y{}'=-2y\]

.

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

    \[\frac{dy}{dx}=-2y\]

    \[\frac{dy}{y}=-2dx\]

    \[\int \frac{dy}{y}=-2\int dx\]

    \[\ln \left | y \right |=-2x+C*\]

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

    \[\left | y \right |=e^{-2x+C*}\]

    \[\left | y \right |=e^{C*}\cdot e^{^{-2x}}\]

Если  – это константа, то

    \[e^{C*}>0\]

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

    \[y=Ce^{-2x}\]

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

    \[y=Ce^{-2x},\]

где С=const.

Ответ

    \[y=Ce^{-2x},\]

где С=const.

Пример 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[y{}'+\left ( 2y+1 \right )\cot =0.\]

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

    \[\frac{dy}{dx}+\left ( 2y+1 \right )\cot =0\]

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

    \[\frac{dy}{dx}=-\left ( 2y+1 \right )\cot\]

    \[\frac{dy}{2y+1}=-\cot x\]

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

    \[\int \frac{dy}{2y+1}=-\int \cot x\]

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

    \[\int \frac{dy}{2y+1}=-\int \frac{\cosxdx}{sinx}\]

    \[\frac{1}{2}\int \frac{d(2y+1)}{2y+1}=-\int\frac{d(\sin x)}{\sin x}\]

    \[\frac{1}{2}\ln \left | 2y+1 \right |=-\ln\left | \sin x \right |+\ln \left | C* \right |\]

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

    \[\ln \left | 2y+1 \right |^\frac{1}{2}=\ln \left | \sin x \right |^{-1}+\ln \left | C* \right |\]

    \[\ln \sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\ln \frac{1}{\left | \sin x \right |}+\ln \left | C* \right |\]

    \[\ln \sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\ln \left | \frac{C*}{\sin x} \right |\]

    \[\sqrt{2y+1}=\frac{C*}{\sin x}\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

    \[\sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\frac{C*}{\sin x}\]

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Общий интеграл:

    \[(2y+1)\cdot \sin ^{2}x=C,\]

где С=const.

Пример 4

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

    \[e^{y-x^{2}}dy-2xdx=0,\]

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

    \[e^{y}\cdot e^{-x^{2}}dy-2xdx=0\]

    \[e^{y}\cdot e^{-x^{2}}dy=2xdx\]

    \[e^{y}dy=\frac{2xdx}{e^{-x^{2}}}\]

    \[e^{y}dy=2xe^{x^{2}}dx\]

    \[\int e^{y}dy=2\intxe^{x^{2}}dx\]

    \[\int e^{y}dy=\int e^{x^{2}}d\left ( x^{2} \right )\]

    \[e^{y}=e^{x^{2}}+C\]

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

    \[\ln e^{y}=\ln \left (e^{x^{2}}+C  \right )\]

    \[y=\ln \left (e^{x^{2}}+C  \right )\]

Получаем общее решение:

    \[y=\ln \left (e^{x^{2}}+C  \right ),\]

где С=const

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

    \[\ln 2=\ln \left ( e^{0}+C \right )\]

    \[\ln 2=\ln \left ( 1+C \right )\Rightarrow C=1\]

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

    \[y=\ln \left( e^{x^{2}}+C\right )\]

.

Пример 5

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[2\left( xy+y \right )y{}'+x\left ( y^{4}+1\right )=0\]

.

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

    \[2\left( x+1 \right )y\cdot \frac{dy}{dx}=-x(y^{4}+1)\]

    \[\frac{2ydy}{y^{4}+1}=-\frac{xdx}{x+1}\]

    \[2\int \frac{2ydy}{y^{4}+1}=-\int \frac{\left ( x+1-1 \right )dx}{x+1}\]

    \[\int \frac{d\left ( y^{2} \right )}{\left ( y^{2} \right )^{2}+1}=-\int \left ( 1-\frac{1}{x+1} \right )dx\]

    \[\arctan \left ( y^{2} \right )=x+\ln \left | x+1 \right |+C\]

В данном случае константу C считается  не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Общий интеграл:

    \[\arctan \left( y^{2} \right )=x+\ln \left | x+1 \right |+C где С=const.\]

Пример 6

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

    \[y\lny+xy{}'=0,\]

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

    \[x\cdot \frac{dy}{dx}=-y\ln y\]

    \[\frac{dy}{ydy}=-\frac{dx}{x}\]

Интегрируем:

    \[\int \frac{dy}{ydy}=-\int \frac{dx}{x}\]

    \[\int \frac{d\ln \left ( y \right )}{\ln y}=-\int \frac{dx}{x}\]

    \[\ln \left | \ln y \right |=-\ln \left | x \right |+\ln \left | C \right |\]

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

    \[\ln \left | \ln y \right |=\ln \frac{1}{\left | x \right |}+\ln \left | C \right | \ln y=\frac{C}{x}\]

Используя

    \[\ln a=b\Rightarrow a=e^{b}\]

можно выразить функцию в явном виде.

Общее решение:

    \[y=e^{}\frac{C}{x},\]

где С=const.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

    \[y\left( 1 \right )=e^{\frac{C}{1}}=e^{C}=e\Rightarrow C=1\]

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

    \[y=e^{}\frac{C}{x}\]

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

    \[y\left ( 1 \right )=e^{}\frac{1}{1}=e^{1}=e.\]

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

    \[y\left( 1 \right )=e^{\frac{1}{x}}\]

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

    \[y{}'=\left ( e^{\frac{1}{x}} \right ){}'=-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\]

Подставим полученное частное решение

    \[y=e^{\frac{1}{x}}\]

и найденную производную  в исходное уравнение

    \[y\lny+xy{}'=0: e^{\frac{1}{x}}\cdot \ln e^{\frac{1}{}x}+x\cdot \left ( -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right )=0\]

    \[e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=0\]

    \[\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=0\]

0=0

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 7

Задание

Найти общий интеграл уравнения

    \[\sqrt{3+y^{2}}dx+\sqrt{1-x^{2}}ydy=0.\]

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

    \[\sqrt{1-x^{2}}ydy=-\sqrt{3+y^{2}}dx\]

    \[\frac{ydy}{\sqrt{3+y^{2}}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

    \[\int \frac{d\left ( 3+y^{2} \right )}{2\sqrt{3+y^{2}}}=-\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

    \[\sqrt{3+y^{2}}=-\arcsinx+C\]

Ответ

Общий интеграл:

    \[\sqrt{3+y^{2}}=-\arcsinx+C где С=const.\]

Пример 8

Задание

Найти частное решение ДУ.

    \[2y{}'\sin y\cdot \cos y\cdot \sin ^{2}x+\cos x=0,  y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0.\]

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

    \[2\frac{dy}{dx}\sin y\cdot \cos y\cdot \sin ^{2}x=-\cos x\]

    \[2\sin y\cdot \cosydy=-\frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}\]

    \[\sin 2ydy=-\frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}\]

Интегрируем:

    \[\int \sin 2ydy=-\int \frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}\]

    \[\frac{1}{2}\int \sin 2yd(2y)=-\int \frac{d\left ( \sin x \right )}{\sin ^{2}x}\]

Общий интеграл:

    \[-\frac{1}{2}\cos 2y=\frac{1}{\sin x}+C\]

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

    \[y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0.\]

Подставляем в общее решение

    \[x=\frac{\pi }{2} и y=0\]

    \[-\frac{1}{2}\cos 0=\frac{1}{\sin \frac{\pi }{2}}+C\]

    \[-\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{1}+C\]

    \[-\frac{1}{2}=1+C\Rightarrow C=-\frac{3}{2}\]

Ответ

Частный интеграл:

    \[-\frac{1}{2}\cos 2y=\frac{1}{\sin x}+C.\]

Пример 9

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[\left( 1+e^{^{x}} \right )ydy-e^{y}dx=0.\]

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

    \[\left ( 1+e^{^{x}} \right )ydy=e^{y}dx\]

    \[\intye^{-y}dy=\int \frac{dx}{1+e^{x}}\]

Левую часть интегрируем по частям:

    \[u=y\Rightarrowdu=dy\]

    \[d\nu =e^{-y}dy\Rightarrow \nu =-e^{-y}\]

    \[\intud\nu =u\nu -\int \nudu\]

В интеграле правой части проведем замену:

    \[t=1+e^{x}\]

    \[e^{x}=t-1\]

    \[dt=e^{x}dx\Rightarrowdx=\frac{dt}{e^{x}}=\frac{dt}{t-1}\]

Таким образом:

    \[-ye^{-y}+\int e^{-y}dy=\int \frac{dt}{t\left ( t-1 \right )}\]

    \[-ye^{-y}-e^{-y}=\int \left ( \frac{1}{t-1} \right -\frac{1}{t})dt\]

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )=\ln \left | t-1 \right |-\ln \left | t \right |+C*\]

Обратная замена:

    \[t=1+e^{x}\]

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )-\ln \left | 1+e-1 \right |+\ln \left | 1+e^{x} \right |=C*\]

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )-x+\ln \left ( 1+e^{x} \right )=C*\]

Ответ

Общий интеграл:

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )-x+\ln \left ( 1+e^{x} \right )=C*,\]

где С=const.

Пример 10

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[y-xy{}'=3(1+x^{2}y{}').\]

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

    \[y-xy{}'=3+3x^{2}y{}'\]

    \[3x^{2}y{}'+xy{}'=y-3\]

    \[\left( 3x^{2} +x\right )\frac{dy}{dx}=y-3\]

    \[\frac{dy}{y-3}=\frac{dx}{3x^{2}+x}\]

    \[\int \frac{dy}{y-3}=\int \frac{dx}{3x^{2}+x}\]

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

    \[\frac{A}{x}+\frac{B}{3x+1}=\frac{1}{x\left ( 3x+1 \right )}\]

    \[A\left ( 3x+1 \right )+Bx=1\]

    \[\left\{\begin{matrix}\]

    \[3A+B=0 && \\\]

    \[A=1&& \\]

    \[\end{matrix}\right.\]

    \[\Rightarrow B=-3\]

    \[\ln \left | y-3 \right |=\int \left ( \frac{1}{x} -\frac{3}{3x+1}\right )dx\]

    \[\ln \left | y-3 \right |=\ln \left | x \right |-\ln \left | 3x+1 \right |+\ln \left | C \right |\]

    \[\ln \left | y-3 \right |=\ln \left | \frac{Cx}{3x+1} \right |\]

    \[y-3=\frac{Cx}{3x+1}\]

Ответ

Общее решение:

    \[y-3=\frac{Cx}{3x+1},\]

где С=const.

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

5497

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также