Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь 

    \[y{}'=\frac{dy}{dx}\]

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

    \[x\cdot \frac{dy}{dx}=y.\]

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей  по правилу пропорции получаем

    \[\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\]

Далее интегрируем полученное уравнение:

    \[\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}\]

В данном случае интегралы берём из таблицы:

    \[\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C;\]

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть,

    \[\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C\]

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

y=Cx, где С=Const.

Пример 2

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

    \[y{}'=-2y\]

.

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

    \[\frac{dy}{dx}=-2y\]

    \[\frac{dy}{y}=-2dx\]

    \[\int \frac{dy}{y}=-2\int dx\]

    \[\ln \left | y \right |=-2x+C*\]

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

    \[\left | y \right |=e^{-2x+C*}\]

    \[\left | y \right |=e^{C*}\cdot e^{^{-2x}}\]

Если  – это константа, то

    \[e^{C*}>0\]

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

    \[y=Ce^{-2x}\]

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

    \[y=Ce^{-2x},\]

где С=const.

Ответ

    \[y=Ce^{-2x},\]

где С=const.

Пример 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[y{}'+\left ( 2y+1 \right )\cot =0.\]

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

    \[\frac{dy}{dx}+\left ( 2y+1 \right )\cot =0\]

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

    \[\frac{dy}{dx}=-\left ( 2y+1 \right )\cot\]

    \[\frac{dy}{2y+1}=-\cot x\]

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

    \[\int \frac{dy}{2y+1}=-\int \cot x\]

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

    \[\int \frac{dy}{2y+1}=-\int \frac{\cosxdx}{sinx}\]

    \[\frac{1}{2}\int \frac{d(2y+1)}{2y+1}=-\int\frac{d(\sin x)}{\sin x}\]

    \[\frac{1}{2}\ln \left | 2y+1 \right |=-\ln\left | \sin x \right |+\ln \left | C* \right |\]

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

    \[\ln \left | 2y+1 \right |^\frac{1}{2}=\ln \left | \sin x \right |^{-1}+\ln \left | C* \right |\]

    \[\ln \sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\ln \frac{1}{\left | \sin x \right |}+\ln \left | C* \right |\]

    \[\ln \sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\ln \left | \frac{C*}{\sin x} \right |\]

    \[\sqrt{2y+1}=\frac{C*}{\sin x}\]

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

    \[\sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\frac{C*}{\sin x}\]

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Общий интеграл:

    \[(2y+1)\cdot \sin ^{2}x=C,\]

где С=const.

Пример 4

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

    \[e^{y-x^{2}}dy-2xdx=0,\]

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

    \[e^{y}\cdot e^{-x^{2}}dy-2xdx=0\]

    \[e^{y}\cdot e^{-x^{2}}dy=2xdx\]

    \[e^{y}dy=\frac{2xdx}{e^{-x^{2}}}\]

    \[e^{y}dy=2xe^{x^{2}}dx\]

    \[\int e^{y}dy=2\intxe^{x^{2}}dx\]

    \[\int e^{y}dy=\int e^{x^{2}}d\left ( x^{2} \right )\]

    \[e^{y}=e^{x^{2}}+C\]

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

    \[\ln e^{y}=\ln \left (e^{x^{2}}+C  \right )\]

    \[y=\ln \left (e^{x^{2}}+C  \right )\]

Получаем общее решение:

    \[y=\ln \left (e^{x^{2}}+C  \right ),\]

где С=const

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

    \[\ln 2=\ln \left ( e^{0}+C \right )\]

    \[\ln 2=\ln \left ( 1+C \right )\Rightarrow C=1\]

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

    \[y=\ln \left( e^{x^{2}}+C\right )\]

.

Пример 5

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[2\left( xy+y \right )y{}'+x\left ( y^{4}+1\right )=0\]

.

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

    \[2\left( x+1 \right )y\cdot \frac{dy}{dx}=-x(y^{4}+1)\]

    \[\frac{2ydy}{y^{4}+1}=-\frac{xdx}{x+1}\]

    \[2\int \frac{2ydy}{y^{4}+1}=-\int \frac{\left ( x+1-1 \right )dx}{x+1}\]

    \[\int \frac{d\left ( y^{2} \right )}{\left ( y^{2} \right )^{2}+1}=-\int \left ( 1-\frac{1}{x+1} \right )dx\]

    \[\arctan \left ( y^{2} \right )=x+\ln \left | x+1 \right |+C\]

В данном случае константу C считается  не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Общий интеграл:

    \[\arctan \left( y^{2} \right )=x+\ln \left | x+1 \right |+C где С=const.\]

Пример 6

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

    \[y\lny+xy{}'=0,\]

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

    \[x\cdot \frac{dy}{dx}=-y\ln y\]

    \[\frac{dy}{ydy}=-\frac{dx}{x}\]

Интегрируем:

    \[\int \frac{dy}{ydy}=-\int \frac{dx}{x}\]

    \[\int \frac{d\ln \left ( y \right )}{\ln y}=-\int \frac{dx}{x}\]

    \[\ln \left | \ln y \right |=-\ln \left | x \right |+\ln \left | C \right |\]

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

    \[\ln \left | \ln y \right |=\ln \frac{1}{\left | x \right |}+\ln \left | C \right | \ln y=\frac{C}{x}\]

Используя

    \[\ln a=b\Rightarrow a=e^{b}\]

можно выразить функцию в явном виде.

Общее решение:

    \[y=e^{}\frac{C}{x},\]

где С=const.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

    \[y\left( 1 \right )=e^{\frac{C}{1}}=e^{C}=e\Rightarrow C=1\]

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

    \[y=e^{}\frac{C}{x}\]

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

    \[y\left ( 1 \right )=e^{}\frac{1}{1}=e^{1}=e.\]

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

    \[y\left( 1 \right )=e^{\frac{1}{x}}\]

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

    \[y{}'=\left ( e^{\frac{1}{x}} \right ){}'=-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\]

Подставим полученное частное решение

    \[y=e^{\frac{1}{x}}\]

и найденную производную  в исходное уравнение

    \[y\lny+xy{}'=0: e^{\frac{1}{x}}\cdot \ln e^{\frac{1}{}x}+x\cdot \left ( -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right )=0\]

    \[e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=0\]

    \[\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=0\]

0=0

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 7

Задание

Найти общий интеграл уравнения

    \[\sqrt{3+y^{2}}dx+\sqrt{1-x^{2}}ydy=0.\]

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

    \[\sqrt{1-x^{2}}ydy=-\sqrt{3+y^{2}}dx\]

    \[\frac{ydy}{\sqrt{3+y^{2}}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

    \[\int \frac{d\left ( 3+y^{2} \right )}{2\sqrt{3+y^{2}}}=-\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]

    \[\sqrt{3+y^{2}}=-\arcsinx+C\]

Ответ

Общий интеграл:

    \[\sqrt{3+y^{2}}=-\arcsinx+C где С=const.\]

Пример 8

Задание

Найти частное решение ДУ.

    \[2y{}'\sin y\cdot \cos y\cdot \sin ^{2}x+\cos x=0,  y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0.\]

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

    \[2\frac{dy}{dx}\sin y\cdot \cos y\cdot \sin ^{2}x=-\cos x\]

    \[2\sin y\cdot \cosydy=-\frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}\]

    \[\sin 2ydy=-\frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}\]

Интегрируем:

    \[\int \sin 2ydy=-\int \frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}\]

    \[\frac{1}{2}\int \sin 2yd(2y)=-\int \frac{d\left ( \sin x \right )}{\sin ^{2}x}\]

Общий интеграл:

    \[-\frac{1}{2}\cos 2y=\frac{1}{\sin x}+C\]

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

    \[y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0.\]

Подставляем в общее решение

    \[x=\frac{\pi }{2} и y=0\]

    \[-\frac{1}{2}\cos 0=\frac{1}{\sin \frac{\pi }{2}}+C\]

    \[-\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{1}+C\]

    \[-\frac{1}{2}=1+C\Rightarrow C=-\frac{3}{2}\]

Ответ

Частный интеграл:

    \[-\frac{1}{2}\cos 2y=\frac{1}{\sin x}+C.\]

Пример 9

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[\left( 1+e^{^{x}} \right )ydy-e^{y}dx=0.\]

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

    \[\left ( 1+e^{^{x}} \right )ydy=e^{y}dx\]

    \[\intye^{-y}dy=\int \frac{dx}{1+e^{x}}\]

Левую часть интегрируем по частям:

    \[u=y\Rightarrowdu=dy\]

    \[d\nu =e^{-y}dy\Rightarrow \nu =-e^{-y}\]

    \[\intud\nu =u\nu -\int \nudu\]

В интеграле правой части проведем замену:

    \[t=1+e^{x}\]

    \[e^{x}=t-1\]

    \[dt=e^{x}dx\Rightarrowdx=\frac{dt}{e^{x}}=\frac{dt}{t-1}\]

Таким образом:

    \[-ye^{-y}+\int e^{-y}dy=\int \frac{dt}{t\left ( t-1 \right )}\]

    \[-ye^{-y}-e^{-y}=\int \left ( \frac{1}{t-1} \right -\frac{1}{t})dt\]

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )=\ln \left | t-1 \right |-\ln \left | t \right |+C*\]

Обратная замена:

    \[t=1+e^{x}\]

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )-\ln \left | 1+e-1 \right |+\ln \left | 1+e^{x} \right |=C*\]

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )-x+\ln \left ( 1+e^{x} \right )=C*\]

Ответ

Общий интеграл:

    \[-e^{-y}\left ( y+1 \right )-x+\ln \left ( 1+e^{x} \right )=C*,\]

где С=const.

Пример 10

Задание

Решить дифференциальное уравнение

    \[y-xy{}'=3(1+x^{2}y{}').\]

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

    \[y-xy{}'=3+3x^{2}y{}'\]

    \[3x^{2}y{}'+xy{}'=y-3\]

    \[\left( 3x^{2} +x\right )\frac{dy}{dx}=y-3\]

    \[\frac{dy}{y-3}=\frac{dx}{3x^{2}+x}\]

    \[\int \frac{dy}{y-3}=\int \frac{dx}{3x^{2}+x}\]

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

    \[\frac{A}{x}+\frac{B}{3x+1}=\frac{1}{x\left ( 3x+1 \right )}\]

    \[A\left ( 3x+1 \right )+Bx=1\]

    \[\left\{\begin{matrix}\]

    \[3A+B=0 && \\\]

    \[A=1&& \\]

    \[\end{matrix}\right.\]

    \[\Rightarrow B=-3\]

    \[\ln \left | y-3 \right |=\int \left ( \frac{1}{x} -\frac{3}{3x+1}\right )dx\]

    \[\ln \left | y-3 \right |=\ln \left | x \right |-\ln \left | 3x+1 \right |+\ln \left | C \right |\]

    \[\ln \left | y-3 \right |=\ln \left | \frac{Cx}{3x+1} \right |\]

    \[y-3=\frac{Cx}{3x+1}\]

Ответ

Общее решение:

    \[y-3=\frac{Cx}{3x+1},\]

где С=const.

Средняя оценка 2 / 5. Количество оценок: 4

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

23586

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *