Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь

$y{}'=\frac{dy}{dx}$

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

$x\cdot \frac{dy}{dx}=y.$

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем

$\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}$

Далее интегрируем полученное уравнение:

$\int \frac{dy}{y}=\int \frac{dx}{x}$

В данном случае интегралы берём из таблицы:

$\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C;$

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть,

$\ln \left | y \right |=\ln \left | x \right |+C$

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

y=Cx, где С=Const.

Пример 2

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

$y{}'=-2y$

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

$\frac{dy}{dx}=-2y$

$\frac{dy}{y}=-2dx$

$\int \frac{dy}{y}=-2\int dx$

$\ln \left | y \right |=-2x+C*$

Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

$\left | y \right |=e^{-2x+C*}$

$\left | y \right |=e^{C*}\cdot e^{^{-2x}}$

Если – это константа, то

$e^{C*}>0$

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

$y=Ce^{-2x}$

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

$y=Ce^{-2x},$

где С=const.

Ответ

$y=Ce^{-2x},$

где С=const.

Пример 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

$y{}'+\left ( 2y+1 \right )\cot =0.$

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

$\frac{dy}{dx}+\left ( 2y+1 \right )\cot =0$

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

$\frac{dy}{dx}=-\left ( 2y+1 \right )\cot$

$\frac{dy}{2y+1}=-\cot x$

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

$\int \frac{dy}{2y+1}=-\int \cot x$

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

$\int \frac{dy}{2y+1}=-\int \frac{\cosxdx}{sinx}$

$\frac{1}{2}\int \frac{d(2y+1)}{2y+1}=-\int\frac{d(\sin x)}{\sin x}$

$\frac{1}{2}\ln \left | 2y+1 \right |=-\ln\left | \sin x \right |+\ln \left | C* \right |$

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

$\ln \left | 2y+1 \right |^\frac{1}{2}=\ln \left | \sin x \right |^{-1}+\ln \left | C* \right |$

$\ln \sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\ln \frac{1}{\left | \sin x \right |}+\ln \left | C* \right |$

$\ln \sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\ln \left | \frac{C*}{\sin x} \right |$

$\sqrt{2y+1}=\frac{C*}{\sin x}$

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

$\sqrt{\left | 2y+1 \right |}=\frac{C*}{\sin x}$

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Общий интеграл:

$(2y+1)\cdot \sin ^{2}x=C,$

где С=const.

Пример 4

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

$e^{y-x^{2}}dy-2xdx=0,$

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

$e^{y}\cdot e^{-x^{2}}dy-2xdx=0$

$e^{y}\cdot e^{-x^{2}}dy=2xdx$

$e^{y}dy=\frac{2xdx}{e^{-x^{2}}}$

$e^{y}dy=2xe^{x^{2}}dx$

$\int e^{y}dy=2\intxe^{x^{2}}dx$

$\int e^{y}dy=\int e^{x^{2}}d\left ( x^{2} \right )$

$e^{y}=e^{x^{2}}+C$

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.

$\ln e^{y}=\ln \left (e^{x^{2}}+C \right )$

$y=\ln \left (e^{x^{2}}+C \right )$

Получаем общее решение:

$y=\ln \left (e^{x^{2}}+C \right ),$

где С=const

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

$\ln 2=\ln \left ( e^{0}+C \right )$

$\ln 2=\ln \left ( 1+C \right )\Rightarrow C=1$

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

$y=\ln \left( e^{x^{2}}+C\right )$

Пример 5

Задание

Решить дифференциальное уравнение

$2\left( xy+y \right )y{}'+x\left ( y^{4}+1\right )=0$

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

$2\left( x+1 \right )y\cdot \frac{dy}{dx}=-x(y^{4}+1)$

$\frac{2ydy}{y^{4}+1}=-\frac{xdx}{x+1}$

$2\int \frac{2ydy}{y^{4}+1}=-\int \frac{\left ( x+1-1 \right )dx}{x+1}$

$\int \frac{d\left ( y^{2} \right )}{\left ( y^{2} \right )^{2}+1}=-\int \left ( 1-\frac{1}{x+1} \right )dx$

$\arctan \left ( y^{2} \right )=x+\ln \left | x+1 \right |+C$

В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Общий интеграл:

$\arctan \left( y^{2} \right )=x+\ln \left | x+1 \right |+C где С=const.$

Пример 6

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

$y\lny+xy{}'=0,$

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

$x\cdot \frac{dy}{dx}=-y\ln y$

$\frac{dy}{ydy}=-\frac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\int \frac{dy}{ydy}=-\int \frac{dx}{x}$

$\int \frac{d\ln \left ( y \right )}{\ln y}=-\int \frac{dx}{x}$

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

$\ln \left | \ln y \right |=\ln \frac{1}{\left | x \right |}+\ln \left | C \right | \ln y=\frac{C}{x}$

Используя

$\ln a=b\Rightarrow a=e^{b}$

можно выразить функцию в явном виде.

Общее решение:

$y=e^{}\frac{C}{x},$

где С=const.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

$y\left( 1 \right )=e^{\frac{C}{1}}=e^{C}=e\Rightarrow C=1$

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

$y=e^{}\frac{C}{x}$

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

$y\left ( 1 \right )=e^{}\frac{1}{1}=e^{1}=e.$

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

$y\left( 1 \right )=e^{\frac{1}{x}}$

дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:

$y{}'=\left ( e^{\frac{1}{x}} \right ){}'=-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Подставим полученное частное решение

$y=e^{\frac{1}{x}}$

и найденную производную в исходное уравнение

$y\lny+xy{}'=0: e^{\frac{1}{x}}\cdot \ln e^{\frac{1}{}x}+x\cdot \left ( -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} \right )=0$

$e^{\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=0$

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=0$

0=0

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 7

Задание

Найти общий интеграл уравнения

$\sqrt{3+y^{2}}dx+\sqrt{1-x^{2}}ydy=0.$

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

$\sqrt{1-x^{2}}ydy=-\sqrt{3+y^{2}}dx$

$\frac{ydy}{\sqrt{3+y^{2}}}=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$\int \frac{d\left ( 3+y^{2} \right )}{2\sqrt{3+y^{2}}}=-\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$\sqrt{3+y^{2}}=-\arcsinx+C$

Ответ

Общий интеграл:

$\sqrt{3+y^{2}}=-\arcsinx+C где С=const.$

Пример 8

Задание

Найти частное решение ДУ.

$2y{}'\sin y\cdot \cos y\cdot \sin ^{2}x+\cos x=0, y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0.$

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

$2\frac{dy}{dx}\sin y\cdot \cos y\cdot \sin ^{2}x=-\cos x$

$2\sin y\cdot \cosydy=-\frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}$

$\sin 2ydy=-\frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}$

Интегрируем:

$\int \sin 2ydy=-\int \frac{\cosxdx}{\sin ^{2}x}$

$\frac{1}{2}\int \sin 2yd(2y)=-\int \frac{d\left ( \sin x \right )}{\sin ^{2}x}$

Общий интеграл:

$-\frac{1}{2}\cos 2y=\frac{1}{\sin x}+C$

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

$y\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0.$

Подставляем в общее решение

$x=\frac{\pi }{2} и y=0$

$-\frac{1}{2}\cos 0=\frac{1}{\sin \frac{\pi }{2}}+C$

$-\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{1}+C$

$-\frac{1}{2}=1+C\Rightarrow C=-\frac{3}{2}$

Ответ

Частный интеграл:

$-\frac{1}{2}\cos 2y=\frac{1}{\sin x}+C.$

Пример 9

Задание

Решить дифференциальное уравнение

$\left( 1+e^{^{x}} \right )ydy-e^{y}dx=0.$

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

$\left ( 1+e^{^{x}} \right )ydy=e^{y}dx$

$\intye^{-y}dy=\int \frac{dx}{1+e^{x}}$

Левую часть интегрируем по частям:

$u=y\Rightarrowdu=dy$

$d\nu =e^{-y}dy\Rightarrow \nu =-e^{-y}$

$\intud\nu =u\nu -\int \nudu$

В интеграле правой части проведем замену:

$t=1+e^{x}$

$e^{x}=t-1$

$dt=e^{x}dx\Rightarrowdx=\frac{dt}{e^{x}}=\frac{dt}{t-1}$

Таким образом:

$-ye^{-y}+\int e^{-y}dy=\int \frac{dt}{t\left ( t-1 \right )}$

$-ye^{-y}-e^{-y}=\int \left ( \frac{1}{t-1} \right -\frac{1}{t})dt$

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

$-e^{-y}\left ( y+1 \right )=\ln \left | t-1 \right |-\ln \left | t \right |+C*$

Обратная замена:

$t=1+e^{x}$

$-e^{-y}\left ( y+1 \right )-\ln \left | 1+e-1 \right |+\ln \left | 1+e^{x} \right |=C*$

$-e^{-y}\left ( y+1 \right )-x+\ln \left ( 1+e^{x} \right )=C*$

Ответ

Общий интеграл:

$-e^{-y}\left ( y+1 \right )-x+\ln \left ( 1+e^{x} \right )=C*,$

где С=const.

Пример 10

Задание

Решить дифференциальное уравнение

$y-xy{}'=3(1+x^{2}y{}').$

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

$y-xy{}'=3+3x^{2}y{}'$

$3x^{2}y{}'+xy{}'=y-3$

$\left( 3x^{2} +x\right )\frac{dy}{dx}=y-3$

$\frac{dy}{y-3}=\frac{dx}{3x^{2}+x}$

$\int \frac{dy}{y-3}=\int \frac{dx}{3x^{2}+x}$

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

$\frac{A}{x}+\frac{B}{3x+1}=\frac{1}{x\left ( 3x+1 \right )}$

$A\left ( 3x+1 \right )+Bx=1$

$\left\{\begin{matrix}$

$3A+B=0 && \\$

$A=1&& \$

$\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow B=-3$

$\ln \left | y-3 \right |=\int \left ( \frac{1}{x} -\frac{3}{3x+1}\right )dx$

$\ln \left | y-3 \right |=\ln \left | \frac{Cx}{3x+1} \right |$

$y-3=\frac{Cx}{3x+1}$

Ответ

Общее решение:

$y-3=\frac{Cx}{3x+1},$

где С=const.

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Давид Б.

Редактор.

Кандидат экономических наук, автор множества научных публикаций РИНЦ и ВАК.

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Примеры решения дифференциальных уравнений