Алгоритм решения интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если F(x) – первообразная функции f(x), то:

F'(x) = f(x)

Операция интегрирования является операцией обратной операции дифференцирования.

Определённым интегралом функции на отрезке [a, b] называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

    \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица интегралов.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов, C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений интегралов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int xdx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int xdx = \frac{x^{2}}{d2} + C\]

Ответ

    \[\int xdx = \frac{x^{2}}{d2} + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

Важно!

Если вы не уверены, что справитесь с работой самостоятельно, обратитесь к профессионалам. Сдадим работу раньше срока или вернем 100% денег

Стоимость и сроки

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int 7x^{5}dx\]

Решение

Вынося постоянный множитель 7 за знак интеграла, по таблице интегралов находим:

    \[\int 7x^{5}dx = 7\int x^{5}dx = 7\cdot\frac{x^{6}}{6} + C\]

Ответ

    \[\int 7x^{5}dx = 7\cdot\frac{x^{6}}{6} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{3} + 5x)dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{3} + 5x)dx = \int (x^{3})dx + \int (5x)dx = \frac{x^{4}}{4} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{4} + 10x^{2}}{4} + C\]

Ответ

    \[\int (x^{3} + 5x)dx = \frac{x^{4} + 10x^{2}}{4} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx\]

Когда нет времени!

Помощь в написании работы от 1 дня. Гарантируем сдачу работу к сроку без плагиата, только авторский текст. Оформление + сопровождеие в подарок!

Узнать стоимость Список услуг Задать вопрос

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \int (x^{4})dx - \int (x^{2})dx + \int (4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Ответ

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx\]

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{n}}dx = \frac{x^{\frac{n + 1}{n}}}{\frac{n + 1}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{n + 1}{n}}}{n + 1} + C = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt[n]{x^{m}}dx\]

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{m}{n}}dx = \frac{x^{\frac{m + n}{n}}}{\frac{m + n}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{m + n}{n}}}{m + n} + C = \frac{n}{m + n}x\sqrt[n]{x^{m}} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{m + n}x\sqrt[n]{x^{m}} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx = \int (\frac{3}{x^{5}})dx - \int (\frac{2}{x^{4}})dx + \int (\frac{1}{x^{3}})dx\]

Далее найдём каждый интеграл суммы:

    \[\int (\frac{3}{x^{5}})dx = 3\frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} + C\]

    \[\int (\frac{2}{x^{4}})dx = 2\frac{x^{-3}}{-3} + + C = - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} + C\]

    \[\int (\frac{1}{x^{3}})dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\sin{x} + \cos{x})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\sin{x} + \cos{x})dx = \int (\sin{x})dx + \int (\cos{x})dx\]

Далее, применяя таблицу интегралов, находим интегралы функций синус и косинус:

    \[\int (\sin{x})dx + \int (\cos{x})dx = -\cos{x} + \sin{x} + C\]

Ответ

    \[\int (\sin{x} + \cos{x})dx = -\cos{x} + \sin{x} + C\]

Средняя оценка 4.5 / 5. Количество оценок: 2

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

7874

Помощь студентам

Узнайте, сколько стоит ваша работа

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Смотрите также