Алгоритм решения интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если $F(x)$ – первообразная функции $f(x)$ , то:

$F'(x) = f(x)$

Операция интегрирования является операцией обратной операции дифференцирования.

Определённым интегралом функции на отрезке $[a, b]$ называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица интегралов.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов, $C$ – постоянная величина

$\int 0\cdot dx = C$

$\int dx = x + C$

$\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

$\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C$

$\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)$

$\int e^{x}dx = e^{x} + C$

$\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}dx = \sin{x} + C$

$\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C$

$\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C$

$\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C$

$\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C$

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C$

$\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C$

$\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C$

$\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C$

Примеры решений интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

$\int xdx$

Решение

По таблице интегралов находим:

$\int xdx = \frac{x^{2}}{d2} + C$

Ответ

$\int xdx = \frac{x^{2}}{d2} + C$

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \sqrt{x}dx$

Решение

По таблице интегралов находим:

$\int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

Ответ

$\int \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Решение

По таблице интегралов находим:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

Ответ

$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C$

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

$\int 7x^{5}dx$

Решение

Вынося постоянный множитель 7 за знак интеграла, по таблице интегралов находим:

$\int 7x^{5}dx = 7\int x^{5}dx = 7\cdot\frac{x^{6}}{6} + C$

Ответ

$\int 7x^{5}dx = 7\cdot\frac{x^{6}}{6} + C$

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

$\int (x^{3} + 5x)dx$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

$\int (x^{3} + 5x)dx = \int (x^{3})dx + \int (5x)dx = \frac{x^{4}}{4} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{4} + 10x^{2}}{4} + C$

Ответ

$\int (x^{3} + 5x)dx = \frac{x^{4} + 10x^{2}}{4} + C$

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

$\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

$\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \int (x^{4})dx - \int (x^{2})dx + \int (4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C$

Ответ

$\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C$

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \sqrt[n]{x}dx$

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

$\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{n}}dx = \frac{x^{\frac{n + 1}{n}}}{\frac{n + 1}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{n + 1}{n}}}{n + 1} + C = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C$

Ответ

$\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C$

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

$\int \sqrt[n]{x^{m}}dx$

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

$\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{m}{n}}dx = \frac{x^{\frac{m + n}{n}}}{\frac{m + n}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{m + n}{n}}}{m + n} + C = \frac{n}{m + n}x\sqrt[n]{x^{m}} + C$

Ответ

$\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{m + n}x\sqrt[n]{x^{m}} + C$

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

$\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

$\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx = \int (\frac{3}{x^{5}})dx - \int (\frac{2}{x^{4}})dx + \int (\frac{1}{x^{3}})dx$

Далее найдём каждый интеграл суммы:

$\int (\frac{3}{x^{5}})dx = 3\frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} + C$

$\int (\frac{2}{x^{4}})dx = 2\frac{x^{-3}}{-3} + + C = - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} + C$

$\int (\frac{1}{x^{3}})dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + C$

Ответ

$\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + C$

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

$\int (\sin{x} + \cos{x})dx$

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

$\int (\sin{x} + \cos{x})dx = \int (\sin{x})dx + \int (\cos{x})dx$

Далее, применяя таблицу интегралов, находим интегралы функций синус и косинус:

$\int (\sin{x})dx + \int (\cos{x})dx = -\cos{x} + \sin{x} + C$

Ответ

$\int (\sin{x} + \cos{x})dx = -\cos{x} + \sin{x} + C$

Михаил:

15 октября 2022 в 00:10

Из ответа первого примера буковку “d” уберите.

Ответить
Бахтиёр Махмудов:

21 июня 2022 в 22:32

по определению , если икс в числителе в степени с минусом, то в числителе будет единица, а в знаменателе тот же икс только в степени с плюсом

Ответить
Максим Тусаров:

26 июня 2020 в 22:37

Вы как 9 решали? По какой формуле?

Как там всё поменялось в каждом интеграле?

Ответить

Добавить комментарий Отменить ответ

владимир алексеевич тюфанов на Как Петр I изменил медицину в России: влияние и достиженияУ Петра 1 действительно были признаки великого человека ,да к тому же он был царем ,не то ,что современные демагоги
Тагир на Энергия магнитного поля: основные принципы и применениеБольшое спасибо за замечание, исправили. Если будут замечания по другим материалам, обязательно пишите в комментариях!
Юрий на Энергия магнитного поля: основные принципы и применениеЕсть неточность в предложении:"Магнитное поле взаимодействует с заряженными частицами, оказывая на них силу Лоренца. Эта сила может изменять скорость и
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Крисцина на Решить уравнение со степенями онлайнКрута

Примеры решения интегралов с ответами

Алгоритм решения интегралов

Примеры решений интегралов