Примеры решения интегралов с ответами

Простое объяснение принципов решения интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Анатолий
1 29449
Помощь в написании работы

Алгоритм решения интегралов

Теорема

Неопределённым интегралом функции называется множество всех первообразных этой функции.

Первообразной функции называется такая функция, производная которой равна исходной функции, т.е., если F(x) – первообразная функции f(x), то:

F'(x) = f(x)

Операция интегрирования является операцией обратной операции дифференцирования.

Определённым интегралом функции на отрезке [a, b] называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Алгоритм

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

    \[\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\]

Для нахождения интегралов функций, используются свойства интегралов, а также таблица интегралов.

Таблица основных интегралов

Таблица основных интегралов, C – постоянная величина

    \[\int 0\cdot dx = C\]

    \[\int dx = x + C\]

    \[\int x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{x^{n}} = -\frac{1}{n - 1}\cdot\frac{1}{x^{n-1}} + C,\ (n = const,\ n \neq -1)\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{x} = \ln{|x|} + C\]

    \[\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C,\ (a > 0,\ a \neq 1)\]

    \[\int e^{x}dx = e^{x} + C\]

    \[\int \sin{x}dx = -\cos{x} + C\]

    \[\int \cos{x}dx = \sin{x} + C\]

    \[\int \ tg{x}dx = -\ln|\cos{x}| + C\]

    \[\int \ ctg{x}dx = \ln|\sin{x}| + C\]

    \[\int \frac{dx}{\cos^{2}x} = \ tg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sin^{2}x} = -\ ctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 + x^{2}} = \ arctg{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{1 - x^{2}} = \frac{1}{2}\cdot\ln\left | \frac{1 + x}{1 - x} \right | + C\]

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}} = \ln | x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} | + C\]

    \[\int \ sh{x}dx = \ ch{x} + C\]

    \[\int \ ch{x}dx = \ sh{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ ch^{2}x} = \ th{x} + C\]

    \[\int \frac{dx}{\ sh^{2}x} = -\ cth{x} + C\]

Примеры решений интегралов

Пример 1

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int xdx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int xdx = \frac{x^{2}}{d2} + C\]

Ответ

    \[\int xdx = \frac{x^{2}}{d2} + C\]

Пример 2

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt{x}dx\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C\]

Пример 3

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}}\]

Решение

По таблице интегралов находим:

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Ответ

    \[\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + C\]

Пример 4

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int 7x^{5}dx\]

Решение

Вынося постоянный множитель 7 за знак интеграла, по таблице интегралов находим:

    \[\int 7x^{5}dx = 7\int x^{5}dx = 7\cdot\frac{x^{6}}{6} + C\]

Ответ

    \[\int 7x^{5}dx = 7\cdot\frac{x^{6}}{6} + C\]

Пример 5

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{3} + 5x)dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{3} + 5x)dx = \int (x^{3})dx + \int (5x)dx = \frac{x^{4}}{4} + 5\cdot\frac{x^{2}}{2} + C = \frac{x^{4} + 10x^{2}}{4} + C\]

Ответ

    \[\int (x^{3} + 5x)dx = \frac{x^{4} + 10x^{2}}{4} + C\]

Пример 6

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \int (x^{4})dx - \int (x^{2})dx + \int (4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Ответ

    \[\int (x^{4} - x^{2} + 4)dx = \frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} + 4x + C\]

Пример 7

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx\]

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{1}{n}}dx = \frac{x^{\frac{n + 1}{n}}}{\frac{n + 1}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{n + 1}{n}}}{n + 1} + C = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{n + 1}x\sqrt[n]{x} + C\]

Пример 8

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int \sqrt[n]{x^{m}}dx\]

Решение

Преобразуя подынтегральную функцию к виду степенной, находим её интеграл по таблице интегралов:

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \int {x}^{\frac{m}{n}}dx = \frac{x^{\frac{m + n}{n}}}{\frac{m + n}{n}} + C = \frac{n\cdot x^{\frac{m + n}{n}}}{m + n} + C = \frac{n}{m + n}x\sqrt[n]{x^{m}} + C\]

Ответ

    \[\int \sqrt[n]{x}dx = \frac{n}{m + n}x\sqrt[n]{x^{m}} + C\]

Пример 9

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx = \int (\frac{3}{x^{5}})dx - \int (\frac{2}{x^{4}})dx + \int (\frac{1}{x^{3}})dx\]

Далее найдём каждый интеграл суммы:

    \[\int (\frac{3}{x^{5}})dx = 3\frac{x^{-4}}{-4} + C = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} + C\]

    \[\int (\frac{2}{x^{4}})dx = 2\frac{x^{-3}}{-3} + + C = - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} + C\]

    \[\int (\frac{1}{x^{3}})dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + C\]

Ответ

    \[\int (\frac{3}{x^{5}} - \frac{2}{x^{4}} + \frac{1}{x^{3}})dx = -\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{x^{4}} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}} + C\]

Пример 10

Задача

Вычислить интеграл:

    \[\int (\sin{x} + \cos{x})dx\]

Решение

Интеграл суммы равен сумме интегралов, поэтому:

    \[\int (\sin{x} + \cos{x})dx = \int (\sin{x})dx + \int (\cos{x})dx\]

Далее, применяя таблицу интегралов, находим интегралы функций синус и косинус:

    \[\int (\sin{x})dx + \int (\cos{x})dx = -\cos{x} + \sin{x} + C\]

Ответ

    \[\int (\sin{x} + \cos{x})dx = -\cos{x} + \sin{x} + C\]

Автор статьи

Анатолий Овруцкий
Анатолий Овруцкий
Автор научных статей и методических указаний, кэн

Средняя оценка 2.9 / 5. Количество оценок: 17

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *