О чем статья

Алгоритм решения матриц

[stextbox id=’teorema’ caption=’Теорема’]

Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.

[/stextbox]

Есть два отличия между матрицами:

Комплексные матрицы. Это когда хотя бы одно число равно комплексному.
Действительные матрицы. Это когда в матрице содержаться действительные числа.

С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.

Сложение и вычитание

Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]

Задание

Даны две матрицы, найдите их сумму.

$A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

Решение

Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.

$C=A+B=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0 \end{pmatrix}&+\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4+3 & 2+1\\ 0+(-3) & 0+4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & 3\\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]

Задание

Даны две матрицы, найдите их разность.

$A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0 \end{pmatrix}&;B=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

Решение

$C=A-B\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 &0 \\ \end{pmatrix}-$

$-\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 &4\\ \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 4-3 & 2-1\\ 9-(-3)&0-4\\ \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 12 &-4\\ \end{pmatrix}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 3′]

Задание

Найдите C=2A +3B, если :

$A=\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 &0 \\ 4 & -6 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ -3 & 4\\ 9 & 1 \end{pmatrix}$

Решение

$C=2A+3B=2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ 9 & 0\\ 4 & -6 \end{pmatrix}&-3\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -3 & 4\\ 9 & 1 \\ \end{pmatrix}&=$

$&= \begin{pmatrix} 2*4+3*3 & 2*2-3*1\\ 2*9+3*(-3) & 2*0-3*4\\ 2*4+3*9 & 2*(-6)-3*1 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} 17 & 7\\ 9& 12\\ 35 & -9 \end{pmatrix}$

[/stextbox]

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Умножение

В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример’]

Задание

Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 &2 &1 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

Решение

$A*B=\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 &2 &1 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1*5+4*4+3*2 & 1*2+4*3+3*1 & 1*1+4*2+3*5\\ 2*5+1*4+5*2 & 2*2+1*3+5*1 & 2*1+1*2+5*5\\ 3*5+2*4+1*2 & 2*3+2*3+1*1 & 3*1+2*2+1*5 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 27 & 17 & 24\\ 24 & 12 & 29\\ 25& 13 & 12 \end{pmatrix}$

$B*A=\begin{pmatrix} 5 & 2 & 1\\ 4 & 3 & 2\\ 2 & 1 & 6 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 1 & 4 & 3\\ 2 & 1 & 5\\ 3 &2 &1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 5*1+2*2+1*2 & 5*4+3*1+1*2 & 5*3+2*5+1*1\\ 4*1+3*2+2*3 & 4*4+2*1+2*2 & 4*3+3*5+2*1\\ 2*1+1*2+5*3 & 2*4+1*1+5*2 & 2*3+1*5+5*1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 11 & 24 & 26\\ 16 & 23 & 29\\ 19 & 19 & 16 \end{pmatrix}$

Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.

[/stextbox]

Возведение матрицы в степень

Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!

$A^{n}=n\left \{A*A*A...*A}$

Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.

$A^{n+m}=A^{n}*A^{m}$

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример’]

Задание

Найдите

$A^{4}$

матрицы.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Решение

В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.

$A^{2}=A*A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 &-2 &2 \\ 0 &1 &-1 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 4 & -2 & 3\\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 1*1+0*4+2*0 & 1*0+0*(-2)+2*1\\ 4*1+(-2)*4+3*0 & 4*0+(-2)*(-2)+3*1\\ 0*1+1*4+(-1)*0& 0*0+1*(-2)+(-1)*1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -4 &7 & -1\\ 4 &-3 & 4 \end{pmatrix}$

После по формуле подставляем числовые значения.

$A^{4}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -4 &7 & -1\\ 4 &-3 & 4 \end{pmatrix}&*\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -4 & 7 & -1\\ 4 & -3 & 4 \end{pmatrix}&=\begin{pmatrix} -7 & 16 & -2\\ -36 & 44 & -11\\ 32 & -25 & 19 \end{pmatrix}$

[/stextbox]

Расчёт определителя

В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.

А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.

Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]

Дано

$A=\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Решение

Пользуемся свойствам степеней – A^{3}=A^{2}*A

Возведём А в A^{2}

$A^{2}=\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 3\\ 1 & 1 &1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Далее используем свойство степеней

$A^{3}=A^{2}*A=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 3\\ 1 & 1 &1 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2 &0 &1 \\ 1 & -1 &0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 8+3+0 & 0-3+9 & 4+0+3\\ 2+1+0 & 0-1+3 & 1+0+1\\ 6+0+0 & 0+0+3 & 3+0+1 \end{pmatrix}=$

$=\begin{pmatrix} 11 & 6 & 7\\ 3 & 2 & 2\\ 6 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

Ответ

$A^{3}=\begin{pmatrix} 11 & 6 & 7\\ 3 & 2 & 2\\ 6 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]

Задание

Найдите определитель матрицы А.

$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 1 &3 \\ 4 & 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

Решение

$(det)A=\begin{vmatrix} 2 & 4& 1 &1 \\ 0 & 2 &0 & 0\\ 2 & 1 & 1 &3 \\ 4 & 0& 2 &3 \end{vmatrix}=$

$=-0*\begin{vmatrix} 4 &1 &1 \\ 1 &1 &3 \\ 0& 2 & 3 \end{vmatrix}&+2*\begin{vmatrix} 2 & 1 &1 \\ 2 & 1 & 3\\ 4 & 2 &3 \end{vmatrix}&-0*\begin{vmatrix} 2 &4 &1 \\ 2 & 1&3 \\ 4& 0 & 3 \end{vmatrix}&+0*\begin{vmatrix} 2 & 4 & 1\\ 2 & 1 &1 \\ 4 &0 &2 \end{vmatrix}=$

$=2(2*1*3*4+1*2*2-1/1/4-2**3*2-1*2*3)=2*(6+12+4-4-12-6)2*0=0$

[/stextbox]

Обратная матрица

Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример’]

Задание

Найти обратную матрицу А.

$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 &1 \\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Решение

Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.

$A|E=\begin{pmatrix} 2 & 4 &1 && 1& 0&0\\ 0 & 2 & 1&& 0& 1 &0\\ 2 & 1 & 1&&0 &0 &1 \end{pmatrix}$

Переводим всё в единичную матрицу.

$\begin{pmatrix} 2 &4 & 1&& 1&0 &0\\ 0 & 2 & 1&& 0&1 &0\\ 2-2 & 1-4 & 1-1&& 0-1& 0-0&1-0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 4 &1&& 1&0 & 0\\ 0 & 2 &1&&0 &1 &0 \\ 0 &-3 &0 &&-1 & 0&1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1&& 1& 0&0\\ 0& 2 &1 && \frac{1}{3}&0 &-\frac{1}{3}\\ 0& 1 & 0&& 0&1 &0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2-4*0& 4-4*1 & 1-4*0 && 1-4*(\frac{1}{3}) & 0-4*0 &0-4*(-\frac{1}{3}) \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0-3*0 & 2-2*1 & 2-2*1 && 0-2*\frac{1}{3} & 1-2*0 & 0-2*(-\frac{1}{3}) \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 && -\frac{1}{3} & 0 & \frac{4}{3}\\ 0 & 1 &0 && \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 && -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2-0 & 0-0 & 1-1 && -\frac{1}{3} -(-\frac{2}{3})& 0-1 &\frac{4}{3}-\frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0& 0 & 1 && -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2& 0 & 0 &&\frac{1}{3} & -1 & \frac{2}{3}\\ 0& 1 & 0 && \frac{1}{3} &0 & -\frac{1}{3}\\ 0& 0 &1 && -\frac{2}{3} & 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 &0 & 0 && \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0& 0 & 1 &&-\frac{2}{3} & 1& \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

Ответ

$A^{1}=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0 && \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 && \frac{1}{3} & 0 &-\frac{1}{3} \\ 0& 0 & 1 &&-\frac{2}{3} & 1& \frac{2}{3} \end{bmatrix}$

$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

[/stextbox]

Обратная матрица

Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]

Задание

В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}*A^{T}$

, где

$A^{T} , A^{-1}$

-транспортированные матрицы;|А| – определитель.

Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы 2*2.

Найти обратную матрицу

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Решение

Для начала находим определитель матрицы.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix}&=1*4-3*2=4*6=-2$

Если ответ равен нулю, то обратной матрицы нет! Так как наш ответ равен -2, то всё в порядке. Следующим действием нам нужно будет рассчитать матрицу миронов. Таблица элементов при этом не изменяется. Где прописан нужным нам элемент, нужно вычеркнуть строчку или столбец, оставшееся число и будет являться мироном.

$M=\begin{pmatrix} * &* \\ *&* \end{pmatrix}$

Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.

Как итог, у нас остаётся число 4

$M=\begin{pmatrix} * &* \\ *&4 \end{pmatrix}$

$M=\begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2& 1 \end{pmatrix}$

Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.

Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.

$M=\begin{pmatrix} 4 & 3\\ 2& 1 \end{pmatrix}$

← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.

$A=\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2& 1 \end{pmatrix}$

, вот что у нас получилось.

И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.

$A^{T}=\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2& 1 \end{pmatrix}$

, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения

$A^{-1} = \frac{1}{|A|}*A^{T}$

$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -3\\ -2 & 1 \end{pmatrix}$

В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]

Задание

Найдите матрицу А.

$A=\begin{pmatrix} 2& 4 & 1\\ 0 & 2& 1\\ 2 &2 &1 \end{pmatrix}$

Решение

Начинаем с определения матрицы.

$det(A)=\begin{vmatrix} 2 & 4 &1 \\ 0 & 2 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=2*2*1+4*1*2+1*0*1-1*2*2-2*2*2-4*0*1=$

$=4+8+0-4-2-0=6$

Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:

$A_{11}=(-1)^{1+1}*\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 1&1 \end{vmatrix}=2*1-1*1=1$

$A_{12}=(-1)^{1+2}*\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 2&1 \end{vmatrix}=(0*1-1*2)=2$

$A_{13}=(-1)^{1+3}*\begin{vmatrix} 0 &1\2 \\ 2&1 \end{vmatrix}=0*1-2*2=-4$

$A_{21}=(-1)^{2+1}*\begin{vmatrix} 4 &1 \\ 1&1 \end{vmatrix}=-(4*1-1*1)=-3$

$A_{22}=(-1)^{2+2}*\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 2&1 \end{vmatrix}=2*1-1*2=0$

$A_{23}=(-1)^{2+3}*\begin{vmatrix} 2 &4 \\ 2&1 \end{vmatrix}=-(2*1-4*2)=6$

$A_{31}=(-1)^{3+1}*\begin{vmatrix} 4 &1 \\ 2&1 \end{vmatrix}=4*1-1*2=2$

$A_{32}=(-1)^{3+2}*\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 0&1 \end{vmatrix}=-(2*1-1*0)=-2$

$A_{33}=(-1)^{3+3}*\begin{vmatrix} 2 &4 \\ 0&2 \end{vmatrix}=2*2-4*0=4$

Не забываем записать союзную матрицу:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 &-4 \\ -3 & 0 &6 \\ 2 & -2 & 4 \end{pmatrix}$

И уже из неё находим обратную матрицу:

$A^{-1}-\frac{-1}{det(A)}A^{T}=\frac{1}{6}=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\ 2 &0 &-2 \\ -4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

Получаем ответ

$A^{-1}=}\begin{pmatrix} \frac{1}{6} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} & 0 & -\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& 1 & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$

[/stextbox]

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении

Примеры решения матриц с ответами

Алгоритм решения матриц

Сложение и вычитание

Умножение

Возведение матрицы в степень

Расчёт определителя

Обратная матрица

Обратная матрица

Авторизуйтесь