Примеры решения уравнений с ответами

Примеры решений 16.04.2020 0 4977 Нашли ошибку? Ссылка по ГОСТ

Простое объяснение принципов решения уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения уравнений

[stextbox id=’teorema’ caption=’Теорема’]

Алгебраическое уравнение – это уравнение вида $f_{1}(x) = g_{1}(x)$ .

Решить уравнение – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

[/stextbox]

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений уравнений

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 1′]

Задача

Решить уравнение:

$\frac{1}{x^{3} + 2} - \frac{1}{x^{3} + 3} = \frac{1}{12}$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{ll} x \neq \sqrt[3]{2}, \\ x \neq \sqrt[3]{3}; \end{array} \right.$

$\frac{x^{6} + 5x^{3} - 6}{12(x^{3} + 2)(x^{3} + 3)} = 0$

$\left\{ \begin{array}{ll} x^{6} + 5x^{3} - 6 = 0, \\ (x^{3} + 2)(x^{3} + 3) \neq 0; \end{array} \right.$

Обозначим $x^{3} = y$

Уравнение $x^{6} + 5x^{3} - 6 = 0$ преобразуется к виду

$y^{2} + 5y - 6 = 0$

$y_{1} = -6,\ y_{2} = 1$

Отсюда $x^{3} = -6,\ x^{3} = 1,\ x_{1} = -\sqrt[3]{6},\ x_{2} = 1$

Ответ

$x_{1} = -\sqrt[3]{6},\ x_{2} = 1$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 2′]

Задача

Решить уравнение:

$\log_{4x + 1}7 + \log_{9x}7 = 0$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{ll} 0 < 4x + 1 \neq 1, \\ 0 < 9x \neq 1; \end{array} \right.$ или $0 < x \neq \frac{1}{9}$

Перейдём к логарифмам по основанию 7:

$\frac{1}{\log_{7}(4x + 1)} + \frac{1}{\log_{7}9x} = 0$

$\log_{7}9x = -\log_{7}(4x + 1)$

$9x = \frac{1}{4x + 1}$

$36x^{2} + 9x - 1 = 0$

$x_{1} = \frac{1}{12},\ x_{2} = -\frac{1}{3}$

$x_{2} = -\frac{1}{3}$ не подходит по ОДЗ

Ответ

$x = \frac{1}{12}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 3′]

Задача

Решить уравнение:

$x^{2} - 1 = \frac{x + 1}{4}$

Решение

$4(x^{2} - 1) = x + 1$

$4x^{2} - x - 2 = 0$

Найдём дискриминант:

$D = (-1)^{2} - 4\cdot4\cdot(-2) = 33$

$x_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8}$

$x_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{33}}{2\cdot4} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

Ответ

$x_{1} = \frac{1 + \sqrt{33}}{8},\ x_{2} = \frac{1 - \sqrt{33}}{8}$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 4′]

Задача

Решить уравнение:

$2\lg x^{2} - (\lg(-x))^{2} = 4$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$x < 0$

$4\lg(-x) - \lg^{2}(-x) - 4 = 0$

$\lg^{2}(-x) - 4\lg(-x) + 4 = 0$

$(\lg(-x) - 2)^{2} = 0$

$(\lg(-x) = 2,\ x = 100$

Ответ

$x = 100$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 5′]

Задача

Решить уравнение:

$\frac{b}{x - a} - \frac{a}{x - b} = 2$

Решение

ОДЗ: $x \neq a, x \neq b$

$\frac{2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2}}{(x - a)(x - b)} = 0$

$2x^{2} - 3(a + b)x + (a + b)^{2} = 0$

$x_{1} = \frac{-(- 3(a + b)) + \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = \frac{a + b}{2}$

$x_{2} = \frac{-(- 3(a + b)) - \sqrt{(- 3(a + b))^{2} - 4\cdot2\cdot(a + b)^{2}}}{2\cdot2} = a + b$

Ответ

$x_{1} = \frac{a + b}{2},\ x_{2} = a + b$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 6′]

Задача

Решить уравнение:

$\frac{\log_{2}(9 - 2^{x})}{3 - x} = 1$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{ll} 9 - 2^{x} > 0, \\ 3 - x \neq 0; \end{array} \right.$ или $3 \neq x < \log_{2}9$

$\log_{2}(9 - 2^{x}) = 3 - x$

$9 - 2^{x} = 2^{3 - x}$

$2^{2x} -9\cdot2^{x} + 8 = 0$

$2^{x} = 1,\ x_{1} = 0$

$2^{x} = 8,\ x_{2} = 3$

$x_{2} = 3$ не подходит по ОДЗ

Ответ

$x = 0$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 7′]

Задача

Решить уравнение:

$\frac{4}{x^{2} + 4} - \frac{5}{x^{2} + 5} = 2$

Решение

$\frac{2x^{4} + 9^x{2}}{(x^{2} + 4)(x^{2} + 5)} = 0$

$2x^{4} + 9x^{2} = 0$

$x^{2}(2x^{2} + 9) = 0$

$x^{2} = 0,\ x_{1} = 0$ или $2x^{2} + 9 = 0,\ x^{2} = -\frac{9}{2}$ – решений нет

Ответ

$x = 0$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 8′]

Задача

Решить уравнение:

$\log_{a^{2}}x^{3} + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}\log_{\sqrt{5}}5$

Решение

Найдём область допустимых значений:

$\left\{ \begin{array}{ll} x > 1, \\ 0 < a \neq 1; \end{array} \right.$

$\log_{a}x + \log_{a}(x - 1) = \log_{a}2$

$\log_{a}x(x - 1) = \log_{a}2$

$x^{2} - x - 2 = 0,\ x_{1} = 2,\ x_{2} = -1$

$x_{2} = -1$ не подходит по ОДЗ

Ответ

$x = 2$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 9′]

Задача

Решить уравнение:

$|x| + |x - 1| = 1$

Решение

Рассмотрим три случая.

Первый случай:

При $x < 0$ исходное уравнение принимает вид:

$- x -x + 1 = 1$

Отсюда $x = 0$ – решений нет, т.к. по условию $x < 0$

Второй случай:

При $0 \leq x < 1$ исходное уравнение принимает вид:

$x - x + 1 = 1$

$1 = 1$

Отсюда $x \in [0; 1)$

Третий случай:

При $x \geq 1$ исходное уравнение принимает вид:

$x + x - 1 = 1$

Отсюда $x = 1$

Ответ

$x \in [0; 1]$

[/stextbox]

[stextbox id=’warning’ caption=’Пример 10′]

Задача

Решить уравнение:

$\frac{1}{x(x + 2)} - \frac{1}{(x + 1)^{2}} = \frac{1}{12}$

Решение

ОДЗ: $x \neq 0,\ x \neq -1,\ x \neq -2$

Обозначим:

$x^{2} + 2x = z$

Тогда:

$\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{z} - \frac{1}{z + 1} = 0$

$-z^{2} - z + 12 = 0$

$z_{1} = \frac{-(-1) + \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = -4$

$z_{2} = \frac{-(-1) - \sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot(-1)\cdot12}}{2\cdot(-1)} = 3$

$x^{2} + 2x = -4$

$x^{2} + 2x + 4 = 0$

$D = 2^{2} - 4\cdot1\cdot4 = -12 < 0$ – корней нет

$x^{2} + 2x = 3$

$x^{2} + 2x - 3 = 0$

$x_{1} = \frac{-2 + \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = 1$

$x_{2} = \frac{-2 - \sqrt{2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} = -3$

Ответ

$x_{1} = 1,\ x_{2} = -3$

[/stextbox]

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CTRL + Enter

сагдиана на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно!
акмарал на Более 50 основных формул по физике с пояснениема эти формулы обычно используют в олимпиядах
всем пока на Решить уравнение с дробями онлайнничего не понятно. калькулятор не работает.
Великий гей Никола Тесла на Более 50 основных формул по физике с пояснениемСайт параша, я пытался списать ЕГЭ по физике с помощью них, я блять сдал его на 99999 балов, и теперь
некто на Примеры решения матриц с ответамиНеправильные ответы, учите матрицу гении