О чем статья
Угол между прямой и плоскостью
Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо знать определение и несколько основных формул.
Пусть прямая и плоскость заданы своими уравнениями:
и
[stextbox id=”info” defcaption=”true”]
Углом между прямой и плоскостью называется угол, созданный этой прямой и её проекцией на эту плоскость (см. рис. ниже).
[/stextbox]
Обозначим через величину этого угла. Угол между нормальным вектором и направляющим вектором равен углу , поэтому ^ = x .
Значит,
,^ = =
(1)
Из рисунка видно, что , когда
(2)
условие параллельности прямой и плоскости.
И если , тогда
(3)
условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Точка пересечения прямой и плоскости
Если прямая не параллельна плоскости , тогда они пересекаются в одной точке. Чтобы найти точку пересечения, необходимо решить систему уравнений:
Это удобнее сделать, если уравнение записать в параметрической форме:
(4)
и подставить эти выражения в уравнение , тогда получим:
=
За найденным значением из (4) находим координаты точки пересечения.
Примеры решения задач
Примеры помогут закрепить пройденную тему.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 1″]
Задача
Найти угол между прямой и плоскостью .
Решение
Согласно формуле (1) из первого уравнения находим направляющий вектор , из уравнения плоскости – нормальный вектор , тогда
= = = = ,
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 2″]
Задача
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и перпендикулярна прямой .
Решение
Согласно условию (3) перпендикулярности прямой и плоскости за нормальный вектор можно взять параллельный ему направляющий вектор прямой . Используя уравнение плоскости, которая проходит через точку перпендикулярна вектору у нас получается:
Ответ .
[/stextbox]
Для наглядности покажем ещё несколько примеров, где необходимо найти точку пересечения с плоскостью.
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 3″]
Задача
Найти точку пересечения прямой с плоскостью
Решение
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: . Подставим выражения для в общее уравнение плоскости Откуда
Ответ
[/stextbox]
[stextbox id=”warning” caption=”Пример 4″]
Задача
Найти точку симметричную с точкой относительно плоскости .
Решение
Сначала составим уравнение прямой , которая проходит через точку перпендикулярно к плоскости. За направляющий вектор можно взять нормальный вектор данной плоскости (см. условию (3).
Значит, у нас получается:
Найдём точку пересечения найденной прямой с плоскостью. Из уравнения прямой выражаем и подставляем в уравнение плоскости:
;
– точка пересечения прямой и плоскости. Эта точка между двумя симметричными относительно плоскости точкам и , то есть:
= ;
= ;
= .
Ответ
Симметричной с точкой относительно заданной плоскости есть точка .
[/stextbox]