Что такое скалярное произведение векторов

Внимание!

Если вам нужна помощь с академической работой, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 экспертов готовы помочь вам прямо сейчас.

Расчет стоимости Гарантии Отзывы

Определение

Скалярное произведение a x b двух векторов \overline{a} и \overline{b} (обозначается \overline{a} x \overline{b}) называется число равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:

\overline{a} x \overline{b} = |\overline{a}| x |\overline{b}| cos (\overline{a}, \overline{b}).

(1)

На основании свойства 1 проекции (1): прl\overline{a} = |\overline{a}|cos(a,^\overline{l}) уравнение запишется:

\overline{a} x \overline{b} = |\overline{a}| x пр_a\overline{b}|\overline{b}|пр_b x \overline{a}

(2)

В физике работа A постоянной силы \overline{F} при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути \overline{S} находится как скалярное произведение этих векторов:

A = \overline{|F|} x \overline{|S|} cos (\overline{F}, \overline{S})\overline{F}\overline{S}.

Основные свойства скалярного произведения

Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать  свойства, рассмотрим их:

1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):

\overline{a}\overline{b}\overline{b}\overline{a}.

2. Числовой множитель \lambda можно выносить за знак скалярного произведения:

(\lambda\overline{a})\overline{b} = \lambda(\overline{a}\overline{b}).

3. Для произвольных векторов  \overline{a}\overline{b}\overline{c}:

\overline{a}(\overline{b}\overline{c})\overline{a}\overline{b}\overline{a}\overline{c}.

4. Скалярное произведение 2 векторов \overline{a} и \overline{b} равняется нулю (\overline{a}\overline{b} = 0) тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны (\overline{a}\perp\overline{b}).

Определение
Таблица скалярного умножения ортов. Согласно определению 1 \overline{i} x \overline{i} = \overline{|i|} x \overline{|i|} x cos 0 = 1, аналогично \overline{j} x \overline{j} = 1, \overline{k} x \overline{k} = 1, а по свойству (4) \overline{i} x \overline{j}\overline{j} x \overline{k} = \overline{k} x \overline{i} = 0.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.

Если \overline{a} = x_1\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}, \overline{b} = x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k}, тогда \overline{a}\overline{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.

Действительно, при помощи свойств, у нас получается:

\overline{a} * \overline{b} = (x_{1}\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}) * (x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k}) = x_{1}x_{2}\overline{ii} + x_{1}y_{2}\overline{ij} + x_{1}z_{2}\overline{ik} + +y_{1}x_{2}\overline{ji} + y_{1}y_{2}\overline{jj} + y_{1}z_{2}\overline{jk} + z_{1}x_{2}\overline{ki} + z_{1}y_{2}\overline{kj} + z_{1}z_{2}\overline{kk}

Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

\overline{a} x \overline{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.

(3)

Формулы для нахождения скалярного произведения

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

Длина вектора

Если в формуле (1) \overline{a} = \overline{b}, тогда:

\overline{a} * \overline{a} = |\overline{a}| * |\overline{a}| * cos^0 = |\overline{a}|^2 \to\|overline{a}| = \sqrt{\overline{a} * \overline{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

(4)

Расстояние между двумя точками

Допустим, есть две точки:

  1. M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1});
  2. M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2}).

Находится как длина вектора \overline{M_{1}M_{2}} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1}) по формуле (4):

\overline{|M_{1}M_{2}|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

(5)

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):

cos (\overline{a}, \overline{b}) = {\overline{a}\overline{b}\over\overline{|a|} * \overline{|b|}} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} * \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2

(6)

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

\overline{a} и \overline{b} выходит из свойства 4 и формулы (3):

\overline{a} *\overline{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0.

(7)

Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):

пр\overline{_a}\overline{b} = \overline{a}\overline{b}\over\overline{|a|} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2.

(8)

пр\overline{_b}\overline{a} = \overline{a}\overline{b}\over\overline{|b|} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2.

(9)

Декартовые прямоугольные координаты x, y, z вектора \overline{a} в базисе \overline{i}, \overline{j}, \overline{k} есть его проекциями на соответствующие оси координат.

Действительно, согласно формуле (9) получается:

пр\overline{_i}\overline{a}\overline{a}\overline{i}\over\overline{|i|} = x\over{1} = x, пр\overline{_j}\overline{a} = \overline{a}\overline{j}\over\overline{|j|} = y, пр\overline{_k}\overline{a} = \overline{a}\overline{k}\over\overline{|k|} = z.

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора \overline{a} называются косинусы углов \alpha, \beta, \gamma, созданные между вектором \overline{a} и координатными осями OX, OY, OZ.

cos\alpha = cos(\overline{a},\overline{i}) = \overline{a}\overline{i}\over\overline{|a|} * \overline{|i|} = x\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2, cos\beta = \overline{a}\overline{j}\over\overline{|a|} * \overline{|j|} = y\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2cos\gamma =  z\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.

(10)

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

Пример 1

Задача

Найти скалярное произведение векторов:

\overline{a} = - 3\overline{i} + 4\overline{j} + \overline{k} и b = 2\overline{i} + 5\overline{j} - 4\overline{k}.

Решение

Исходя из формулы (3) у нас получается:

\overline{a} x \overline{b} = (-3) * 2 + 4 * 5 + 1 * (-4) = -6 + 20 - 4 = 10.

Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

Пример 2

Задача

Даны точки A(3, 2, 3), B(1, -4, 3), C(-4, 5, 1). Найти скалярное произведение векторов \overline{AB} * \overline{AC}.

Решение

Сначала найдём векторы:

\overline{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1 - 3, -4 - 2, 3 - 3) = (-2, -6, 0), \overline{AC} = (-7, 3, -2).

Согласно формуле (3) получается:

\overline{AB} * \overline{AC} = (-2) * (-7) + (-6) * (-3) + 0 * (-2) = 14 - 18 = -4.

Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

Пример 3

Задача

Даны точки A(5, 1, -1), B(-1, 7, 5), D(8, -2, 2).

Для параллелограмма, построенного на векторах AB и AD вычислить:

  1. длину сторон, то есть |\overline{AB}| и |\overline{AD}|;
  2. косинус и синус угла;
  3. площадь.

Решение

Находим векторы \overline{AB}(-6, 6, 6), \overline{AD}(3, -3, 3), тогда:

1) |\overline{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 6^2} = 6\sqrt{3}, \overline{AD} = 3\sqrt{3}.

2) cos A = cos(\overline{AB}, \overline{AD}) = \overline{AB} * \overline{AD}\over\overline{|AB|} * \overline{|AD|} = -18 - 18 + 18\over6\sqrt3 * 3\sqrt3 = -{1\over3} (угол A – тупой), sin A = \sqrt{1 - cos^2 A} = \sqrt{1 - {1\over9}} = {2\sqrt{2}}\over{3}.

3) S = |\overline{AB}| * |\overline{AD}| * sin A = 6\sqrt{3} * 3\sqrt{3} * 2\sqrt{2}\over{3} = 36\sqrt{2}

Пример 4

Задача

Найти модуль вектора  \overline{a} = 2 \overline{m} +  \overline{n}, если  |\overline{m}| = 1, |\overline{n}| = 3, ( \overline{m}, ^ \overline{n}) = \pi\over{3}.

Решение

Согласно формуле (4)  \overline{a} = \sqrt{\overline{a} *  \overline{a}}. Находим  \overline{a} *  \overline{a} = (2\overline{m} +  \overline{n}) * (2 \overline{m} +  \overline{n}) = 4 \overline{m} * \overline{m} + 4 \overline{m} * \overline{n} +  \overline{n} *  \overline{n} = 4 * 1 * 1 cos0 + 4 * 1 * 3 * cos \pi\over{3} + 3 * 3 * cos0 = 4 + 6 + 9 = 19, тогда |\overline{a}| = \sqrt{19}.

Пример 5

Задача

Найти направляющие косинусы вектора \overline{a} = (1, 2, 2) и значения выражения cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma.

Решение

|\overline{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3.

cos\alpha = x\over\overline{|a|} = 1\over{3}; cos\beta = 2\over{3}; cos\gamma = 2\over{3}.

cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma = 1\over{9} + 4\over{9} + 4\over{9} = 1.

Проверим, что для произвольного вектора \overline{a}

cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma = 1.

Направляющие косинусы вектора \overline{a} полностью определяют направление вектора и они есть координатами единичного вектора \overline{a^0}, что совпадает за направлением с \overline{a}, то есть:

\overline{a^0} = \overline{a}\over\overline{|a|} = \overline{i}cos\alpha + \overline{j}cos\beta +\overline{k}cos\gamma.

Ответ

\overline{i}cos\alpha + \overline{j}cos\beta +\overline{k}cos\gamma.