О чем статья

Что такое скалярное произведение векторов

Определение

Скалярное произведение $a$ x $b$ двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (обозначается $\overline{a}$ x $\overline{b}$ ) называется число равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $|\overline{a}|$ x $|\overline{b}|$ cos $(\overline{a}, \overline{b}).$

(1)

На основании свойства 1 проекции (1): прl $\overline{a}$ = $|\overline{a}|cos(a$ ,^ $\overline{l})$ уравнение запишется:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $|\overline{a}|$ x пр $_a\overline{b}$ = $|\overline{b}|$ пр $_b$ x $\overline{a}$

(2)

В физике работа $A$ постоянной силы $\overline{F}$ при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути $\overline{S}$ находится как скалярное произведение этих векторов:

$A = \overline{|F|}$ x $\overline{|S|}$ cos $(\overline{F}, \overline{S})$ = $\overline{F}$ x $\overline{S}.$

Основные свойства скалярного произведения

Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать свойства, рассмотрим их:

1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $\overline{b}$ x $\overline{a}.$

2. Числовой множитель $\lambda$ можно выносить за знак скалярного произведения:

$(\lambda\overline{a})$ x $\overline{b}$ = $\lambda$ x $(\overline{a}$ x $\overline{b}).$

3. Для произвольных векторов $\overline{a}$ , $\overline{b}$ , $\overline{c}$ :

$\overline{a}$ x $(\overline{b}$ + $\overline{c})$ = $\overline{a}$ x $\overline{b}$ + $\overline{a}$ x $\overline{c}.$

4. Скалярное произведение 2 векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ равняется нулю $(\overline{a}$ x $\overline{b} = 0)$ тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны $(\overline{a}\perp\overline{b}).$

Определение

Таблица скалярного умножения ортов. Согласно определению 1 $\overline{i}$ x $\overline{i}$ = $\overline{|i|}$ x $\overline{|i|}$ x $cos 0 = 1,$ аналогично $\overline{j}$ x $\overline{j}$ = $1$ , $\overline{k}$ x $\overline{k} = 1$ , а по свойству (4) $\overline{i}$ x $\overline{j}$ = $\overline{j}$ x $\overline{k}$ = $\overline{k}$ x $\overline{i}$ = $0.$

Скалярное произведение векторов в координатной форме

При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.

Если $\overline{a}$ = $x_1\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}$ , $\overline{b} = x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k},$ тогда $\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.$

Действительно, при помощи свойств, у нас получается:

$\overline{a} * \overline{b} = (x_{1}\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}) * (x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k}) = x_{1}x_{2}\overline{ii} + x_{1}y_{2}\overline{ij} + x_{1}z_{2}\overline{ik}$ + $+y_{1}x_{2}\overline{ji} + y_{1}y_{2}\overline{jj} + y_{1}z_{2}\overline{jk} + z_{1}x_{2}\overline{ki} + z_{1}y_{2}\overline{kj}$ + $z_{1}z_{2}\overline{kk}$

Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.$

(3)

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Формулы для нахождения скалярного произведения

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

Длина вектора

Если в формуле (1) $\overline{a} = \overline{b}$ , тогда:

$\overline{a} * \overline{a} = |\overline{a}| * |\overline{a}| * cos^0 = |\overline{a}|^2 \to\|overline{a}| = \sqrt{\overline{a} * \overline{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

(4)

Расстояние между двумя точками

Допустим, есть две точки:

$M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ;
$M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ .

Находится как длина вектора $\overline{M_{1}M_{2}}$ = $(x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ по формуле (4):

$\overline{|M_{1}M_{2}|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(5)

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):

$cos (\overline{a}, \overline{b}) = {\overline{a}\overline{b}\over\overline{|a|} * \overline{|b|}}$ = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} * \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$

(6)

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

$\overline{a}$ и $\overline{b}$ выходит из свойства 4 и формулы (3):

$\overline{a} *\overline{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0.$

(7)

Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):

пр $\overline{_a}\overline{b}$ = $\overline{a}\overline{b}\over\overline{|a|}$ = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$ .

(8)

пр $\overline{_b}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{b}\over\overline{|b|}$ = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$ .

(9)

Декартовые прямоугольные координаты $x, y, z$ вектора $\overline{a}$ в базисе $\overline{i}, \overline{j}, \overline{k}$ есть его проекциями на соответствующие оси координат.

Действительно, согласно формуле (9) получается:

пр $\overline{_i}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{i}\over\overline{|i|}$ = $x\over{1}$ = $x$ , пр $\overline{_j}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{j}\over\overline{|j|}$ = $y$ , пр $\overline{_k}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{k}\over\overline{|k|}$ = $z$ .

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора $\overline{a}$ называются косинусы углов $\alpha, \beta, \gamma$ , созданные между вектором $\overline{a}$ и координатными осями $OX, OY, OZ$ .

$cos\alpha$ = $cos(\overline{a},\overline{i})$ = $\overline{a}\overline{i}\over\overline{|a|} * \overline{|i|}$ = $x\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2$ , $cos\beta$ = $\overline{a}\overline{j}\over\overline{|a|} * \overline{|j|}$ = $y\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2$ , $cos\gamma$ = $z\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$

(10)

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

Пример 1

Задача

Найти скалярное произведение векторов:

$\overline{a}$ = $- 3\overline{i} + 4\overline{j} + \overline{k}$ и $b$ = $2\overline{i} + 5\overline{j} - 4\overline{k}$ .

Решение

Исходя из формулы (3) у нас получается:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $(-3) * 2 + 4 * 5 + 1 * (-4) = -6 + 20 - 4 = 10.$

Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

Пример 2

Задача

Даны точки $A(3, 2, 3), B(1, -4, 3), C(-4, 5, 1).$ Найти скалярное произведение векторов $\overline{AB} * \overline{AC}$ .

Решение

Сначала найдём векторы:

$\overline{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1 - 3, -4 - 2, 3 - 3) = (-2, -6, 0), \overline{AC} = (-7, 3, -2).$

Согласно формуле (3) получается:

$\overline{AB} * \overline{AC} = (-2) * (-7) + (-6) * (-3) + 0 * (-2) = 14 - 18 = -4.$

Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

Пример 3

Задача

Даны точки $A(5, 1, -1), B(-1, 7, 5), D(8, -2, 2).$

Для параллелограмма, построенного на векторах $AB$ и $AD$ вычислить:

длину сторон, то есть $|\overline{AB}|$ и $|\overline{AD}|$ ;
косинус и синус угла;
площадь.

Решение

Находим векторы $\overline{AB}(-6, 6, 6), \overline{AD}(3, -3, 3),$ тогда:

1) $|\overline{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 6^2}$ = $6\sqrt{3}$ , $\overline{AD} = 3\sqrt{3}.$

2) $cos A$ = $cos(\overline{AB}, \overline{AD})$ = $\overline{AB} * \overline{AD}\over\overline{|AB|} * \overline{|AD|}$ = $-18 - 18 + 18\over6\sqrt3 * 3\sqrt3$ = $-{1\over3}$ (угол $A$ – тупой), $sin A$ = $\sqrt{1 - cos^2 A}$ = $\sqrt{1 - {1\over9}}$ = ${2\sqrt{2}}\over{3}.$

3) $S$ = $|\overline{AB}| * |\overline{AD}| * sin A$ = $6\sqrt{3}$ * $3\sqrt{3}$ * $2\sqrt{2}\over{3}$ = $36\sqrt{2}$

Пример 4

Задача

Найти модуль вектора $\overline{a}$ = $2 \overline{m} + \overline{n}$ , если $|\overline{m}| = 1$ , $|\overline{n}| = 3$ , $( \overline{m}$ , ^ $\overline{n})$ = $\pi\over{3}.$

Решение

Согласно формуле (4) $\overline{a}$ = $\sqrt{\overline{a} * \overline{a}}$ . Находим $\overline{a} * \overline{a}$ = $(2\overline{m} + \overline{n}) * (2 \overline{m} + \overline{n})$ = $4 \overline{m} * \overline{m} + 4 \overline{m} * \overline{n} + \overline{n} * \overline{n}$ = $4 * 1 * 1 cos0 + 4 * 1 * 3 * cos$ $\pi\over{3}$ + $3 * 3 * cos0$ = $4 + 6 + 9 = 19$ , тогда $|\overline{a}| = \sqrt{19}$ .

Пример 5

Задача

Найти направляющие косинусы вектора $\overline{a} = (1, 2, 2)$ и значения выражения $cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma$ .

Решение

$|\overline{a}|$ = $\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3.$

$cos\alpha$ = $x\over\overline{|a|}$ = $1\over{3}$ ; $cos\beta$ = $2\over{3}$ ; $cos\gamma$ = $2\over{3}$ .

$cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma$ = $1\over{9}$ + $4\over{9}$ + $4\over{9}$ = $1$ .

Проверим, что для произвольного вектора $\overline{a}$

$cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma$ = $1$ .

Направляющие косинусы вектора $\overline{a}$ полностью определяют направление вектора и они есть координатами единичного вектора $\overline{a^0}$ , что совпадает за направлением с $\overline{a}$ , то есть:

$\overline{a^0}$ = $\overline{a}\over\overline{|a|}$ = $\overline{i}cos\alpha + \overline{j}cos\beta +\overline{k}cos\gamma$ .

Ответ

$\overline{i}cos\alpha + \overline{j}cos\beta +\overline{k}cos\gamma$ .

Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите CRTL + Enter

Давид Б.

Редактор.

Кандидат экономических наук, автор множества научных публикаций РИНЦ и ВАК.

Добавить комментарий Отменить ответ

Алексей Иванков на Все, что вам нужно знать о программе CorelDRAW: определение, основные функции и преимуществаПри всем уважении к автору. Но при чем здесь Photoshop, когда вы говорите об ограниченности COrel в работе с растровой
Елена на Уникальные методы активизации учения школьников: исследование Т. И. ШамовойПочему-то в последние годы упрочилась практика писать тексты без списков изученных публикаций и прочих источников и даже более или менее
Den777 на Компьютерное тестирование: основы, методы и преимущества в современном миреЛучшей же программой тестирования для проверки знаний людей является - Indigo.
Игорь на Искусственный интеллект и робототехника: как они взаимодействуют и влияют друг на другаЕсть третий вариант: Пиар этой отрасли ради её дальнейшего финансирования преувеличивает возможности ИИ в конструктивной сфере. ИИ не обладает реальным
Игорь на Кибернетика и теория эволюции: взаимосвязь, принципы и моделированиеПредлагаю ознакомиться с несколько иным взглядом на отношения кибернетики и теории эволюции. Это статья "Синтез структуры организованных систем как центральная

Скалярное произведение двух векторов

Что такое скалярное произведение векторов

Основные свойства скалярного произведения

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Формулы для нахождения скалярного произведения

Длина вектора

Расстояние между двумя точками

Косинус угла между двумя векторами

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

Проекция вектора на вектор

Направляющие косинусы вектора

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов