О чем статья

Что такое скалярное произведение векторов

Определение

Скалярное произведение $a$ x $b$ двух векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ (обозначается $\overline{a}$ x $\overline{b}$ ) называется число равное произведению модулей этих векторов, умноженному на косинус угла между ними:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $|\overline{a}|$ x $|\overline{b}|$ cos $(\overline{a}, \overline{b}).$

(1)

На основании свойства 1 проекции (1): прl $\overline{a}$ = $|\overline{a}|cos(a$ ,^ $\overline{l})$ уравнение запишется:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $|\overline{a}|$ x пр $_a\overline{b}$ = $|\overline{b}|$ пр $_b$ x $\overline{a}$

(2)

В физике работа $A$ постоянной силы $\overline{F}$ при прямолинейном перемещении вдоль вектора пути $\overline{S}$ находится как скалярное произведение этих векторов:

$A = \overline{|F|}$ x $\overline{|S|}$ cos $(\overline{F}, \overline{S})$ = $\overline{F}$ x $\overline{S}.$

Основные свойства скалярного произведения

Скалярное произведение 2 векторов имеет 4 основных свойств. Так как практически в каждом примере, где нужно находить скалярные произведения, необходимо хорошо знать свойства, рассмотрим их:

1. Скалярное произведение коммутативное (получается из формулы 1):

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $\overline{b}$ x $\overline{a}.$

2. Числовой множитель $\lambda$ можно выносить за знак скалярного произведения:

$(\lambda\overline{a})$ x $\overline{b}$ = $\lambda$ x $(\overline{a}$ x $\overline{b}).$

3. Для произвольных векторов $\overline{a}$ , $\overline{b}$ , $\overline{c}$ :

$\overline{a}$ x $(\overline{b}$ + $\overline{c})$ = $\overline{a}$ x $\overline{b}$ + $\overline{a}$ x $\overline{c}.$

4. Скалярное произведение 2 векторов $\overline{a}$ и $\overline{b}$ равняется нулю $(\overline{a}$ x $\overline{b} = 0)$ тогда, и только тогда, когда один из них нулевой вектор, или когда эти векторы перпендикулярны $(\overline{a}\perp\overline{b}).$

Определение

Таблица скалярного умножения ортов. Согласно определению 1 $\overline{i}$ x $\overline{i}$ = $\overline{|i|}$ x $\overline{|i|}$ x $cos 0 = 1,$ аналогично $\overline{j}$ x $\overline{j}$ = $1$ , $\overline{k}$ x $\overline{k} = 1$ , а по свойству (4) $\overline{i}$ x $\overline{j}$ = $\overline{j}$ x $\overline{k}$ = $\overline{k}$ x $\overline{i}$ = $0.$

Скалярное произведение векторов в координатной форме

При помощи основных свойств, которые расписаны выше, можем находить скалярное произведение в координатной форме.

Если $\overline{a}$ = $x_1\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}$ , $\overline{b} = x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k},$ тогда $\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.$

Действительно, при помощи свойств, у нас получается:

$\overline{a} * \overline{b} = (x_{1}\overline{i} + y_{1}\overline{j} + z_{1}\overline{k}) * (x_{2}\overline{i} + y_{2}\overline{j} + z_{2}\overline{k}) = x_{1}x_{2}\overline{ii} + x_{1}y_{2}\overline{ij} + x_{1}z_{2}\overline{ik}$ + $+y_{1}x_{2}\overline{ji} + y_{1}y_{2}\overline{jj} + y_{1}z_{2}\overline{jk} + z_{1}x_{2}\overline{ki} + z_{1}y_{2}\overline{kj}$ + $z_{1}z_{2}\overline{kk}$

Как помним, произведение одноимённых ортов равняется 1, а разноимённых = 0, тогда получаем форму скалярного произведения в координатной форме:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}.$

(3)

Нужна помощь в написании работы?

Мы - биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Формулы для нахождения скалярного произведения

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо знать не только свойства, но и несколько важных основных формул, которые подводят к правильному решению.

Длина вектора

Если в формуле (1) $\overline{a} = \overline{b}$ , тогда:

$\overline{a} * \overline{a} = |\overline{a}| * |\overline{a}| * cos^0 = |\overline{a}|^2 \to\|overline{a}| = \sqrt{\overline{a} * \overline{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .

(4)

Расстояние между двумя точками

Допустим, есть две точки:

$M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ;
$M_{2} (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ .

Находится как длина вектора $\overline{M_{1}M_{2}}$ = $(x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ по формуле (4):

$\overline{|M_{1}M_{2}|} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

(5)

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между двумя векторами получим из формулы (1) с учётом (3) и (4):

$cos (\overline{a}, \overline{b}) = {\overline{a}\overline{b}\over\overline{|a|} * \overline{|b|}}$ = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} * \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2$

(6)

Условия перпендикулярности двух ненулевых векторов

$\overline{a}$ и $\overline{b}$ выходит из свойства 4 и формулы (3):

$\overline{a} *\overline{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 = 0.$

(7)

Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на вектор находится с учётом формул (3) и (4):

пр $\overline{_a}\overline{b}$ = $\overline{a}\overline{b}\over\overline{|a|}$ = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$ .

(8)

пр $\overline{_b}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{b}\over\overline{|b|}$ = $x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\over\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2$ .

(9)

Декартовые прямоугольные координаты $x, y, z$ вектора $\overline{a}$ в базисе $\overline{i}, \overline{j}, \overline{k}$ есть его проекциями на соответствующие оси координат.

Действительно, согласно формуле (9) получается:

пр $\overline{_i}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{i}\over\overline{|i|}$ = $x\over{1}$ = $x$ , пр $\overline{_j}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{j}\over\overline{|j|}$ = $y$ , пр $\overline{_k}\overline{a}$ = $\overline{a}\overline{k}\over\overline{|k|}$ = $z$ .

Направляющие косинусы вектора

Направляющие косинусы вектора $\overline{a}$ называются косинусы углов $\alpha, \beta, \gamma$ , созданные между вектором $\overline{a}$ и координатными осями $OX, OY, OZ$ .

$cos\alpha$ = $cos(\overline{a},\overline{i})$ = $\overline{a}\overline{i}\over\overline{|a|} * \overline{|i|}$ = $x\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2$ , $cos\beta$ = $\overline{a}\overline{j}\over\overline{|a|} * \overline{|j|}$ = $y\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2$ , $cos\gamma$ = $z\over\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$

(10)

Примеры нахождения скалярного произведения и направления векторов

Зная все необходимые формулы, легко найти не только скалярное произведение вектора, но и длину сторон, косинус угла, площадь, модуль вектора и т. д. Посмотрите, как решаются задачи при помощи основных формул, которые рассмотрены выше.

Пример 1

Задача

Найти скалярное произведение векторов:

$\overline{a}$ = $- 3\overline{i} + 4\overline{j} + \overline{k}$ и $b$ = $2\overline{i} + 5\overline{j} - 4\overline{k}$ .

Решение

Исходя из формулы (3) у нас получается:

$\overline{a}$ x $\overline{b}$ = $(-3) * 2 + 4 * 5 + 1 * (-4) = -6 + 20 - 4 = 10.$

Следующий пример тоже на нахождение скалярного произведения, но решение будет немного другим, хоть и по той же формуле, что и первый пример.

Пример 2

Задача

Даны точки $A(3, 2, 3), B(1, -4, 3), C(-4, 5, 1).$ Найти скалярное произведение векторов $\overline{AB} * \overline{AC}$ .

Решение

Сначала найдём векторы:

$\overline{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (1 - 3, -4 - 2, 3 - 3) = (-2, -6, 0), \overline{AC} = (-7, 3, -2).$

Согласно формуле (3) получается:

$\overline{AB} * \overline{AC} = (-2) * (-7) + (-6) * (-3) + 0 * (-2) = 14 - 18 = -4.$

Часто попадаются и примеры, где нужно найти площадь, длину сторон, косинус и синус угла. Рассмотрим на примере:

Пример 3

Задача

Даны точки $A(5, 1, -1), B(-1, 7, 5), D(8, -2, 2).$

Для параллелограмма, построенного на векторах $AB$ и $AD$ вычислить:

длину сторон, то есть $|\overline{AB}|$ и $|\overline{AD}|$ ;
косинус и синус угла;
площадь.

Решение

Находим векторы $\overline{AB}(-6, 6, 6), \overline{AD}(3, -3, 3),$ тогда:

1) $|\overline{AB}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + 6^2}$ = $6\sqrt{3}$ , $\overline{AD} = 3\sqrt{3}.$

2) $cos A$ = $cos(\overline{AB}, \overline{AD})$ = $\overline{AB} * \overline{AD}\over\overline{|AB|} * \overline{|AD|}$ = $-18 - 18 + 18\over6\sqrt3 * 3\sqrt3$ = $-{1\over3}$ (угол $A$ – тупой), $sin A$ = $\sqrt{1 - cos^2 A}$ = $\sqrt{1 - {1\over9}}$ = ${2\sqrt{2}}\over{3}.$

3) $S$ = $|\overline{AB}| * |\overline{AD}| * sin A$ = $6\sqrt{3}$ * $3\sqrt{3}$ * $2\sqrt{2}\over{3}$ = $36\sqrt{2}$

Пример 4

Задача

Найти модуль вектора $\overline{a}$ = $2 \overline{m} + \overline{n}$ , если $|\overline{m}| = 1$ , $|\overline{n}| = 3$ , $( \overline{m}$ , ^ $\overline{n})$ = $\pi\over{3}.$

Решение

Согласно формуле (4) $\overline{a}$ = $\sqrt{\overline{a} * \overline{a}}$ . Находим $\overline{a} * \overline{a}$ = $(2\overline{m} + \overline{n}) * (2 \overline{m} + \overline{n})$ = $4 \overline{m} * \overline{m} + 4 \overline{m} * \overline{n} + \overline{n} * \overline{n}$ = $4 * 1 * 1 cos0 + 4 * 1 * 3 * cos$ $\pi\over{3}$ + $3 * 3 * cos0$ = $4 + 6 + 9 = 19$ , тогда $|\overline{a}| = \sqrt{19}$ .

Пример 5

Задача

Найти направляющие косинусы вектора $\overline{a} = (1, 2, 2)$ и значения выражения $cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma$ .

Решение

$|\overline{a}|$ = $\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3.$

$cos\alpha$ = $x\over\overline{|a|}$ = $1\over{3}$ ; $cos\beta$ = $2\over{3}$ ; $cos\gamma$ = $2\over{3}$ .

$cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma$ = $1\over{9}$ + $4\over{9}$ + $4\over{9}$ = $1$ .

Проверим, что для произвольного вектора $\overline{a}$

$cos^2\alpha + cos^2\beta + cos^2\gamma$ = $1$ .

Направляющие косинусы вектора $\overline{a}$ полностью определяют направление вектора и они есть координатами единичного вектора $\overline{a^0}$ , что совпадает за направлением с $\overline{a}$ , то есть: